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廣東省中山市20xx-20xx學年高二下學期期末統一考試數學理試題(更新版)

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【正文】 ∴ . 由 ① 、 ② 可知，， . 點睛：數學歸納法兩個步驟的關系：第一步是遞推的基礎，第二步是遞推的根據，兩個步驟缺一不可，有第一步無第二表，屬于不完全歸納法，論斷的普遍性是不可靠的；有第二步無第一步中，則第二步中的假設就失去了基礎。 11. 大衍數列，來源于中國古代著作《乾坤譜》中對易傳 “ 大衍之數五十 ” 的推論．其前 10項為： 0、 1 1 2 3 50．通項公式：，如果把這個數列排成如圖形狀，并記表示第 m行中從左向右第 n個數，則的值為 A. 1200 B. 1280 C. 3528 D. 3612 【答案】 D 【解析】由題意，則 A（ 10， 4）為數列 {an}的第 92+4=85項， ∴ A（ 10， 4）的值為 =3612，故選 D ．點睛：本題取材于中國古代著作《乾坤譜》中對易傳 “ 大衍之數五十 ” 的推論，明確對應數列中的第幾項，然后根據求出此項即可 .本題的關鍵是正確理解樹形圖，明確項數 . 12. 已知函數的導函數為，且對任意的恒成立，則下列不等式均成立的是 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】設在上減函數，。(3).猜想結論：存在一個常數，使得不等式對任意正數，，，恒成立 . 試題解析：（ 1）令得：，故；（ 2）先證明 . ∵ ，，要證上式，只要證，即證即證，這顯然成立 . ∴ . 再證明 . ∵ ，，要證上式，只要證，即證即證，這顯然成立 . ∴ . （ 3）猜想結論：存在一個常數，使得不等式對任意正數，，，恒成立 . 22. 已知函數存在兩個極值點．（ Ⅰ ）求實數 a的取值范圍；（ Ⅱ ）設和分別是的兩個極值點且，證明：．【答案】（ 1）；（ 2）詳見解析 . 【解析】試題分析：（ Ⅰ ）對原函數求導，即該導函數在有兩個不同根，對該導函數繼續求導，發現只有一個零點，分 a = 0， a 0， a 0 三種情況討論即可 . （ Ⅱ ）要證，即證．由得，得 . 所以原命題等價于證明．因為，故只需證，即令，則，設，利用導數研究其單調性極值與最值即可 . 試題解析：（ Ⅰ ）由題設函數的定義域為，，故函數有兩個極值點等價于其導函數在有兩個零點．當 a = 0時，顯然只有 1個零點．當 a≠ 0時，令，那么．若 a 0，則當 x 0 時，即單調遞增，所以無兩個零點 . ? 3分若 a 0，則當時，單調遞增；當時，單調遞減，所以 . 又，當 x→ 0時 → ，故若有兩個零點，則，得．綜上得，實數 a 的取值范圍是．（ Ⅱ ）要證，兩邊同時取自然對數得．由得，得 . 所以原命題等價于證明．因為，故只需證，即令，則，設，只需證． ? 10 分而，故在單調遞增，所以．綜上得．點晴 :本題主要考查函數極值，不等式證明問題 .要求極值，求導得導函數，分 a = 0， a 0，a 0 三種情況討論極值情況，要證明一個不等式，我們可以先根據題意構造新函數，然后利用導數研究這個函數的單調性、極值和最值，圖像與性質，進而求解得結果 .

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