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什么是p問題、np問題和npc問題(更新版)

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【正文】序總能得到一樣的結(jié)果。C是英文單詞“完全”的第一個(gè)字母。現(xiàn)在，所有對NP問題的研究都集中在一個(gè)問題上，即究竟是否有P=NP？通常所謂的“NP問題”，其實(shí)就一句話：證明或推翻P=NP。那么，只要我RP好，猜得準(zhǔn)，我一定能在多項(xiàng)式的時(shí)間里解決這個(gè)問題。現(xiàn)在某人拿到了一個(gè)求最短路徑的問題，問從起點(diǎn)到終點(diǎn)是否有一條小于100個(gè)單位長度的路線。有人說，這樣的“問題”不是一個(gè)“正規(guī)”的問題，正規(guī)的問題是讓程序解決一個(gè)問題，輸出一個(gè)“YES”或“NO”（這被稱為判定性問題），或者一個(gè)什么什么的最優(yōu)值（這被稱為最優(yōu)化問題）。我們也說，O(n^100)的復(fù)雜度小于O(^n)的復(fù)雜度。還是先用幾句話簡單說明一下時(shí)間復(fù)雜度。NP問題并不是那種“只有搜才行”的問題，NPC問題才是。這或許是眾多OIer最大的誤區(qū)之一。他們沒有搞清楚NP問題和NPC問題的概念。因此，我們會說，一個(gè)O(*n^3)的程序的效率比O(100*n^2)的效率低，盡管在n很小的時(shí)候，前者優(yōu)于后者，但后者時(shí)間隨數(shù)據(jù)規(guī)模增長得慢，最終O(n^3)的復(fù)雜度將遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過O(n^2)。不管你用什么方法，你的復(fù)雜度都是階乘級，因?yàn)?你總得用階乘級的時(shí)間打印出結(jié)果來。比方說，我RP很好，在程序中需要枚舉時(shí)，我可以一猜一個(gè)準(zhǔn)。驗(yàn)證一個(gè)解只需要O(n)的時(shí)間復(fù)雜度，也就是說我可以花O(n)的時(shí)間把我猜的路徑的長度加出來。這樣問題就沒法在多項(xiàng)式的時(shí)間里進(jìn)行驗(yàn)證了，因?yàn)槌悄阍囘^所有的路，否則你不敢斷定它“沒有Hamilton回路”。如果把所有P類問題歸為一個(gè)集合P中，把所有 NP問題劃進(jìn)另一個(gè)集合NP中，那么，顯然有P屬于NP。在信息學(xué)研究中，這是一個(gè)耗費(fèi)了很多時(shí)間和精力也沒有解決的終極問題，好比物理學(xué)中的大統(tǒng)一和數(shù)學(xué)中的歌德巴赫猜想等。人們?nèi)绱藞?jiān)信P≠NP是有原因的，就是在研究NP問題的過程中找出了一類非常特殊的NP問題叫做NP完全問題，也即所謂的 NPC問題。為了說明NPC問題，我們先引入一個(gè)概念——約化(Reducibility，有的資料上叫“歸約”)。那么我們說，前者可以約化為后者，意即知道如何解一個(gè)一元二次方程那么一定能解出一元一次方程。約化的過程只有用多項(xiàng)式的時(shí)間完成才有意義。也就是說，存在這樣一個(gè)NP問題，所有的NP問題都可以約化成它。到此為止，本文已經(jīng)寫了近5000字了，我佩服你還能看到這里來，同時(shí)也佩服一下自己能寫到這里來。證明一個(gè)問題是 NPC問題也很簡單。因此，前文才說，“正是NPC問題的存在，使人們相信P≠NP”。NPHard問題同樣難以找到多項(xiàng)式的算法，但它不列入我們的研究范圍，因?yàn)樗灰欢ㄊ荖P問題。NPC問題是存在的。這是第一個(gè)NPC問題。┌───┐└───┘│┌───┐│┌──┐└───┘│└───┘這是個(gè)較簡單的邏輯電路，當(dāng)輸入輸入輸入3分別為True、True、False或False、True、False時(shí)，輸出為True。邏輯電路問題屬于NPC問題。有了第一個(gè)NPC 問題后，一大堆NPC問題就出現(xiàn)了，因?yàn)樵僮C明一個(gè)新的NPC問題只需要將一個(gè)已知的NPC問題約化到它

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