北師大版高考數學一輪總復習52平面向量基本定理及向量的坐標運算(更新版)

　　

【正文】 線． [ 解析 ] ( 1) OM→＝ t1OA→＋ t2AB→＝ t1( 0,2) ＋ t2( 4,4) ＝ (4 t2,2 t1＋4 t2) ． 當點 M 在第二或第三象限時，有????? 4 t20 ，2 t1＋ 4 t2≠ 0 ，故所求的充要條件為 t20 且 t1＋ 2 t2≠ 0. ( 2) 證明：當 t1＝ 1 時，由 ( 1) 知 OM→＝ (4 t2,4 t2＋ 2) ， ∵ AB→＝ OB→－ OA→＝ ( 4,4) ， AM→＝ OM→－ OA→＝ (4 t2,4 t2) ＝ t2( 4,4)＝ t2AB→， 又 ∵ AB 、 AM 有公共點 A ， ∴ A 、 B 、 M 三點共線 . 易 錯 警 示 忽視平行四邊形的多樣性致誤 已知平行四邊形三個頂點的坐標分別為 ( －1,0) ， ( 3,0) ， (1 ，－ 5) ，求第四個頂點的坐標． [ 錯解 ] 設 A ( － 1,0) ， B ( 3,0) ， C (1 ，－ 5) ， D ( x ， y ) ． ∵ 四邊形 AB CD 是平行四邊形， ∴ AB→＝ DC→. 而 AB→＝ ( 3,0) － ( － 1,0) ＝ ( 4, 0) ， DC→＝ (1 ，－ 5) － ( x ， y ) ＝ (1 － x ，－ 5 － y ) ， ∴ ( 4,0) ＝ (1 － x ，－ 5 － y ) ，即????? 4 ＝ 1 － x ，0 ＝－ 5 － y ， 解之得????? x ＝－ 3 ，y ＝－ 5. ∴ 點 D 的坐標為 ( － 3 ，－ 5) ． [ 錯因分析 ] ( 1) 此解錯因是思維定勢，認為平行四邊形只是如圖所示中的一種情形，由此在解題構思中丟掉了兩種情形． ( 2) 若平行四邊形 AB CD 的三個頂點 A 、 B 、 C 的坐標分別為 ( － 1,0) ， ( 3,0) ， (1 ，－ 5 ) ，求 D 點坐標，就只有一種情況，此題目中給出了平行四邊形的三個頂點，并沒有規定順序，就可能有 ? AB CD ? AC D2B 、 ? ACBD3三種情形，如解答中的圖所示． [ 正確解答 ] ( 1) 如圖所示， A ( － 1,0) ， B ( 3,0) ， C (1 ，－ 5) ，D ( x ， y ) ． 若四邊形 AB CD 1為平行四邊形，則 AD1→＝ BC→， 而 AD1→＝ ( x ＋ 1 ， y ) ， BC→＝ ( － 2 ，－ 5) ． 由 AD1→＝ BC→，得????? x ＋ 1 ＝－ 2 ，y ＝－ 5.∴????? x ＝－ 3 ，y ＝－ 5. ∴ D1( － 3 ，－ 5) ． (2) 若四邊形 ACD2B 為平行四邊形，則 AB→＝ CD2→. 而 AB→＝ (4,0) ， CD2→＝ ( x － 1 ， y ＋ 5) ． ∴????? x － 1 ＝ 4 ，y ＋ 5 ＝ 0.∴????? x ＝ 5 ，y ＝－ 5. ∴ D2(5 ，－ 5) ． (3) 若四邊形 ACBD3為平行四邊形，則 AD3→＝ CB→. 而 AD3→＝ ( x ＋ 1 ， y ) ， CB→＝ (2,5) ， ∴????? x ＋ 1 ＝ 2 ，y ＝ 5.∴????? x ＝ 1 ，y ＝ 5.∴ D3(1,5) ． 綜上所述，平行四邊形第四個頂點的坐標為 ( － 3 ，－ 5) 或(5 ，－ 5) 或 (1,5) ． [ 誤區警示 ] 平行向量與平面幾何中兩線段平行既有聯系又有區別，在解決此類問題時，要注意畫圖，利用數形結合的思想求解 . 名 師 點 睛 一個區別 向量坐標與點的坐標的區別： 在平面直角坐標系中，以原點為起點的向量 OA→＝ a ，點 A的位置被向量 a 唯一確定，此時點 A 的坐標與 a 的坐標統一為 ( x ， y ) ，但應注意其表示形式的區別，如點 A ( x ， y ) ，向量 a＝ OA→＝ ( x ， y ) ． 當平面向量 OA→平行移動到 O1A1→時，向量不變，即 O1A1→＝OA→＝ ( x ， y ) ，但 O1A1→的起點 O1和終點 A1的坐標都發生了變化． 兩個防范 (1) 要區分點的坐標與向量坐標的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標中既有方向也有大小的信息． (2) 若 a ＝ ( x1， y1) ， b ＝ ( x1， y2) ，則 a ∥ b 的充要條件不能表示成x1x2＝y1y2，因為 x2， y2有可能等于 0 ，所以應表示為 x1y2－ x2y1＝ 0.