廣西南寧市20xx年高考數學一模試卷文科(留存版)

　　

【正文】 x） =﹣（ x﹣ 3） 2+6≤ 6， 作函數 y=f（ x）的圖象，如圖所示， f（ x） =2 時，方程兩根分別為﹣ 5 和﹣ 1，則 m的最小值為﹣ 5． 故選 A． 【點評】 本題主要考查了函數的等價轉化思想，數形結合的數學思想，以及函數求值域的方法，屬中等題． 二、填空題（共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分） 13．如果實數 x， y 滿足約束條件 ，則 z=3x+2y 的最大值為 7 ． 【考點】 簡單線性規劃． 【分析】 由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，聯立方程組求得最優解的坐標，代入目標函數得答案． 【解答】 解：由約束條件 作出可行域如圖， 聯立 ，解得 A（ 1， 2）， 化目標函數 z=3x+2y為 y= ，由圖可知，當直線 y= 過 A 時，直線在 y 軸上的截距最大， z 有最大值為 7． 故答案為： 7． 【點評】 本題考查簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題． 14．在區間 [﹣ 1， 5]上任取一個實數 b，則曲線 f（ x） =x3﹣ 2x2+bx 在點（ 1， f（ 1））處切線的傾斜角為鈍角的概率為 ． 【考點】 幾何概型． 【分析】 利用曲線 f（ x） =x3﹣ 2x2+bx在點（ 1， f（ 1））處切線的傾斜角為鈍角，求出 b 的范圍，以長度為測度，即可求出所求概率． 【解答】 解： ∵ f（ x） =x3﹣ 2x2+bx， ∴ f′（ x） =3x2﹣ 4x+b， ∴ f′（ 1） =b﹣ 1＜ 0， ∴ b＜ 1． 由幾何概型，可得所求概率為 = ． 故答案為 ． 【點評】 本題考查概率的計算，考查導數的幾何意義，考查學生的計算能力，屬于中檔題． 15．我國古代數學著作《九章算術》有如下問題： “今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤．斬末一尺，重二斤．問次一尺各重幾何？ ”意思是： “現有一根金杖，長 5 尺，一頭粗，一頭細．在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在細的一端截下 1尺，重 2 斤；問依次每一尺各重多少斤？ ”設該金杖由粗到細是均勻變化的，其重量為 M，現將該金杖截成長度相等的 10 段，記第 i 段的重量為 ai（ i=1， 2， … ，10），且 a1＜ a2＜ … ＜ a10，若 48ai=5M，則 i= 6 ． 【考點】 等差數列的通項公式． 【分析】 由題意知由細到粗每段的重量成等差數列，記為 {an}且設公差為 d，由條件和等差數列的通項公式列出方程組，求出 a1和 d 值，由等差數列的前 n 項和公式求出該金杖的總重量 M，代入已知的式子化簡求出 i 的 值． 【解答】 解：由題意知由細到粗每段的重量成等差數列， 記為 {an}，設公差為 d， 則 ，解得 a1= ， d= ， 所以該金杖的總重量 M= =15， 因為 48ai=5M，所以 48[ +（ i﹣ 1） ]=25， 即 39+6i=75，解得 i=6， 故答案為： 6． 【點評】 本題考查等差數列的通項公式、前 n 項和公式的實際應用，以及方程思想，考查化簡、計算能力． 16．在正方體 ABCD﹣ A1B1C1D1中， AA1=3，點 E 在棱 AB 上，點 F 在棱 C1D1上，且平面 B1CF∥ 平面 A1DE，若 AE=1，則三棱錐 B1﹣ CC1F 外接球的表面積為 19π ． 【考點】 球的體積和表面積． 【分析】 根據平面 B1CF∥ 平面 A1DE，得到 C1F=AE=1，再求出三棱錐 B1﹣ CC1F外接球直徑，問題得以解決． 【解答】 解：當 C1F=AE=1 時，可得 CF∥ A1E， 又 A1D1∥ B1C，且 CF∩ B1C=C， ∴ 平面 B1CF∥ 平面 A1DE， ∴ 三棱錐 B1﹣ CC1F 外接球的直徑為 = ， 其表面積為（ ） 2π=19π， 故答案為： 19π 【點評】 本題主要考查了正方體和三棱錐的幾何體的性質以及球的表面積公式，屬于基礎題． 三、解答題（共 5 小 題，滿分 60 分） 17．（ 12 分）（ 2017?南寧一模）在 △ ABC 中，角 A， B， C 所對的邊分別為 a，b， c，且 accosB﹣ bccosA=3b2． （ 1）求 的值； （ 2）若角 C 為銳角， c= ， sinC= ，求 △ ABC 的面積． 【考點】 余弦定理；正弦定理． 【分析】 （ 1）由 accosB﹣ bccosA=3b2，利用余弦定理可得 ﹣ =3b2，化簡即可得出． （ 2）由角 C 為銳角， sinC= ，可得 cosC= ．利用余弦定理可得=a2+b2﹣ 2ab ，與 a=2b 聯立解得 b， a，即可得出． 【解答】 解：（ 1） ∵ accosB﹣ bccosA=3b2， ∴ ﹣ =3b2，化為： a=2b，因此 =2． （ 2） ∵ 角 C 為銳角， sinC= ， ∴ cosC= = ． ∴ =a2+b2﹣ 2ab ，化為： 3a2+3b2﹣ 2ab=33，又 a=2b， 聯立解得 b2=3， ∴ S△ ABC= sinC= = =2 ． 【點評】 本題考查了余弦定理、同角三角函數基本關系式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 18．（ 12 分）（ 2017?南寧一模）某中學是走讀中學，為了讓學生更有效率利用下午放學后的時間，學校在本學期第一次 月考后設立了多間自習室，以便讓學生在自習室自主學習、完成作業，同時每天派老師輪流值班．在本學期第二次月考后，高一某班數學老師統計了兩次考試該班數學成績優良人數和非優良人數，得到如下 2 2 列聯表： 非優良 優良 總計 未設立自習室 25 15 40 設立自習室 10 30 40 總計 35 45 80 （ 1）能否在在犯錯誤的概率不超過 的前提下認為設立自習室對提高學生成績有效； （ 2）從該班第一次月考的數學優良成績中和第二次月考的數學非優良成績中，按分層抽樣隨機抽取 5 個成績，再從這 5 個成績中 隨機抽取 2 個，求這 2 個成績來自同一次月考的概率． 下面的臨界值表供參考： P（ K2≥ k0） k0 （參考公式： K2= ，其中 n=a+b+c+d） 【考點】 獨立性檢驗的應用；列舉法計算基本事件數及事件發生的概率． 【分析】 （ 1）由 2 2 列聯表，計算 K2，對照臨界值表得出結論； （ 2）根據分層抽樣比例求出所抽取的 5 個成績， 利用列舉法計算基本事件 數、計算對應的概率值． 【解答】 解：（ 1）由 2 2 列聯表，計算 K2的觀測值為 k= = ＞ ， 對照臨界值表，得出能在犯錯誤的概率不超過 的前提下， 認為設立自習室對提高學生成績有效； （ 2）根據分層抽樣原理， 從第一次月考數學優良成績中抽取 5=3 個，記為 A、 B、 C；