不等式的證明方法5篇(留存版)

　　

【正文】 =1,求證 ++179。此方法靈活性大,需反復(fù)練習(xí).（3）分析法：當(dāng)綜合法較困難或行不通時,可考慮此法,（共13頁）AB數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級年論文(設(shè)計)（4）數(shù)學(xué)歸納法：凡與自然數(shù)n有關(guān)的不等式,可考慮此法,但有時使用起來比較困難,探求解題途徑 求證 1+2x4179。2k+3〈二〉(2k+2)2＞(2k+1)(2k+3)〈二〉4k2+8k+4＞4k2+8k+3〈二〉4＞3③∵③成立 ∴②成立，即當(dāng)n=k+1時，原不等式成立由（1）（2）證明可知，對一切n≥2（n∈N），原不等式成立練習(xí)8：已知n∈N，且n＞1，求證： 1n+1+1n+2+…+12n＞13249構(gòu)造法根據(jù)求證不等式的具體結(jié)構(gòu)所證，通過構(gòu)造函數(shù)、數(shù)列、合數(shù)和圖形等，達(dá)到證明的目的，這種方法則叫構(gòu)造法。例6：已知a、b、c、d都是正數(shù)求證： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2分析：觀察式子特點，若將4個分式商為同分母，問題可解決，要商同分母除通分外，還可用放縮法，但通分太麻煩，故用放編法。abc, 其中a,b, 設(shè) f(x)=xlnx,x(x)的一階和二階導(dǎo)數(shù)f162。232。n+2b246。232。=231。231。aibi即i=1AB163。(3r)3(x0,y0,z0,111x+y+z=1r).令x=a,y=b,z=c,則r=(1+1+1abc)1,代入不等式有abc179。(x)163。R+，且ab，求證：a+mb+m()以b為斜邊，使BD=m，延長AC至E，使ED^AD，過C作AD的平行線交DE于F，則DABC∽DADE，令CE=n，所以 a=AB=a+m又CECF，即nm，所以bACb+na+mab+ma+mb+n=中原工學(xué)院 利用函數(shù)證明不等式通過變換，把某些問題歸納為求函數(shù)的極值， 設(shè)x206。z2163。n248。1246。0，解得 m163。235。231。an1b+在證題過程中，以變量代換的方法，選擇適當(dāng)?shù)妮o助未知數(shù)， 已知：a+b+c=1，求證：ab+bc+ca163。L180。1，故 b179。)2ab=a+b2ab2a+b2179。a1+a2+L+an180。L180。1246。at247。3248。p，且x1+x2+L+xn為常數(shù)，則當(dāng)xi的值之間越接近時，f(x1,x2,L,xn)[7]的值越大（或不變）；當(dāng)x1=x2=L=xn時，f(x1,x2,L,xn)取最大值，即中原工學(xué)院nf(x1,x2,L,xn)=sinx1sinx2Lsinxn163。230。32180。a2163。2證明 f(x)=cos2x+3sinx=12sin當(dāng)sinx=+3sinx=2231。(a,b)) 19 證明不等式ex1+x，x185。na1a2Lan，當(dāng)且僅當(dāng)na1=a2=L= 證明柯西不等式(229。A2+b1B2，2a22b22a22a2ABA2+b2nbna2同理163。．n232。1247。i=1248。a22+證明 231。b246。(x)=1x中原工學(xué)院可見，f(x)=xlnx在xf(a+b+c3)163。例若x、y∈R+,且 xy=1 A=(x1y)(y+1y)。例13：已知a、b、c∈R+，那么a3+b3+c3≥3abc（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立）證明：∵a、b、c∈R+∴a3+b3+c3=12 ［(a3+b3)+(b3+c3)+(c3+a3)］≥12 ［(a2b+ab2)+(b2c+bc2)+(c2a+ca2)］=12［a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)］≥12(aR時，即 1+2x4179。99, 又a+b+c=1得 163。165。同理有0(1b)b≤,0(1c)c≤.即（1a)b(1b)c(1c)a≤② 641414第9頁（共13頁）數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級年論文(設(shè)計)①與②產(chǎn)生矛盾,從而原命題成立.（3）構(gòu)造法在證明不等式時,有時通過構(gòu)造某種模型、函數(shù)、恒等式、向量、對偶式等, 求證180。180。r163。237。=a+b+4=233。2525230。0，B179。R，所以D=442(13y)179。.232。252.證法五：(放縮法)∵a+b=1∴左邊＝(a+2)+(b+2)233。a+b+4(a+b)+8179。1時,Δ=b24ac≥0,即14(1y)2≥0，所以 |y1|≤,即≤y≤.又當(dāng)y=1時,方程的解x=0，x2+x+113故 ≤2≤.x+122121232（5）放縮法第10頁（共13頁）數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級年論文(設(shè)計)為了證明不等式的需要,有時需舍去或添加一些項,使不等式一邊放大或縮小,[5]設(shè)a,b為不相等的兩個正數(shù),且a3b3=a+b.證： 由題設(shè)得a3b3=a2b2222。352n+142n12342n12n由于,188。231。1, 這時 1121,1,179。a2+b2+c2ab+bc+ca。方法； 應(yīng)用不等式在數(shù)學(xué)中占重要地位,由于其本身的完美性及證明的困難性,使不等式成為各類考試中的熱點試題,證明不等式的途徑是對原不等式作代數(shù)變形，在初等數(shù)學(xué)中常用的方法有放縮法、代換法、歸納法、,、中學(xué)中有關(guān)不等式的證明方法 （1）比較法：證明不等式的基本方法,適應(yīng)面寬.①相減比較法—欲證AB,則證AB0.②相除比較法—欲證AB（A0,B0）,則證1.（2）綜合法：利用平均不等式、二次方程根的判別式、二項式定理、數(shù)列求和等等。2k+22k+1＞2k+32②對于②〈二〉2k+2＞2k+1要證cc2ab＜a＜c+c2ab只需證c2ab＜ac＜c2ab證明：即證 ｜ac｜＜c2ab即證(ac)2＜c2ab即證 a22ac＜ab∵a＞0，∴即要證 a2c＜b 即需證2+b＜2c，即為已知∴ 不等式成立練習(xí)4：已知a∈R且a≠1，求證：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）25放縮法放縮法是在證明不等式時，把不等式的一邊適當(dāng)放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明不等式，是證明不等式的重要方法，技巧性較強常用技巧有：（1）舍去一些正項（或負(fù)項），（2）在和或積中換大（或換小）某些項，（3）擴大（或縮小）分式的分子（或分母）等。22[20] 例 25 證明不等式a+b+c(abc)3163。n247。2n2b246。i=1248。ai247。2ai179。ABi=1n229。3abc, 其中a,b, 設(shè)拉格朗日函數(shù)為對L(x,y,z,l)=xyz+l(1x+1y+1z1r).對L求偏導(dǎo)數(shù)并令它們都等于0，則有Lx=yzlx2=0，Ly=zxly2=0，Lz=xylx2=0，Ll=1x+1y+1z1r=，易的1x=1y=1z=xyz=，求出m==y=z=3r,l=(3r)+1y+1z=1r為了判斷f(3r,3r,3r)=(3r)3是否為所求條件極小值，我們可把條件看作隱函數(shù)z=z(x,y)（滿足隱函數(shù)定理條件），并把目標(biāo)函數(shù)f(x,y,z)=xyz(x,y)=F(x,y)看作f與z=z(x,y)，：zx=zx22,zy=zy22，F(xiàn)x=yzyzx2,Fy=xzxzy2，中原工學(xué)院F=2yz3,F=zz2z2+2z3，xxx3xyyxxy2xz3Fyy==y=z=3r時，F(xiàn)xx=6r=Fyy,Fxy=3r，F(xiàn)2xxFyyF=27r2，所求得的穩(wěn)定點為極小值點，179。g(x)，只須證f(a)=g(a)及f162。ab+bc+cd+[12]中原工學(xué)院借助幾何圖形， 已知：a,b,m206。z12222180。232。N，求證：1+證明 因為 1+12+13+L+112+13+L+1nn(nn+11).230。0，即(2am)24(1+a2)(m21)179。3248。t247。akb+（1）、（2），an+bn179。5622180。1，179。ab=(a2179。***b1+b2+L+bn=1180。999910000221=110001110000，所以 p[6]對于含有n(n206。230。234。235。sinx1+x2+L+xnnA+：當(dāng)A+B為常數(shù)時，有sinAsinB163。1246。43180。L163。sinx247。 設(shè)f(x)=ex1x,則f162。a22nibi)163。nB2，K，AB163。i=1248。163。22兩邊除以n即得．說明：兩邊乘以1n后開方得1nia229。n+= sinx+cosx)n+2 (247。+231。13(f(a)+f(b)+f(c))，從而a+b+ca+b+c3ln3163。1x，求證0＜A＜1證明： ∵x，y∈R+，且xy=1，x=secθ，y=tanθ，（0＜θ＜xy）∴ A=(secθ1secθ(tanθ+1tanθ2bc+b2x3+x2 證明 n(n+1)n+1+++....+(n1).分析 題中含n,但此題用數(shù)學(xué)歸納法不易證明,++188。1111111++++abcabc1a1b1c即 ++179。3x3按極限的定義,對于e=,取d=2(1+2)當(dāng)|x|d=2(1+2)有f(x)11e= , g(x)3414即 0f(x)71 從而f(x)g(x),(x)12（10）利用平分法證明不等式 若x0,i=1,2,3,且229。180。)=222。1)； 已知xaxa2+ybyb=1，可設(shè)x=acosq,y=bsinq；已知=1，可設(shè)x=asecq,y=btanq；六、數(shù)學(xué)歸納法法：與自然數(shù)n有關(guān)的許多不等式，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明，：第一，：設(shè)P(n)是與n有關(guān)的命題，則(1)、設(shè)P(n0)成立，且對于任意的kn0，從P(k)成立可推出P(k+1)成立，則P(n)對所有大于n0的n都成立.(2)、設(shè)m是任給的自然數(shù)，若P(1)成立，且從P(k)(1163。225122220。249。230。0，則(A+B)n179。當(dāng)且僅當(dāng)t=0時，：形如a+b=1結(jié)構(gòu)式的條件，：(利用一元二次方程根的判別式法)設(shè)y=(a+2)+(b+2)，由a+b=1，有y=(