不等式的證明方法（5篇）-全文預覽

　　

【正文】 。ai247。n246。aibi)163。a2i229。2，2即2a1b1a21AB163。aibi163。i229。ai)(229。3abc(a0,b0,c0).中原工學院 利用著名不等式證明[1516]設a1,a2,L,an是n個正實數，則a1+a2+L+an179。例 21 證明不等式3(1a+1b+1c)1163。(x)(ba)來證明某些不等式，例20 求證：sinxsiny163。(x)0,f嚴格遞增；當x0,f162。(x),(x206。0，則f(x)，若證f(x)163。[1314]當x屬于某區間，有f162。8232。cos2x+3sinx163。R有序，所以根據排序不等式同序和最大，即 a2+b2+c2+d2179。a1b1+a2b2+L+anbn，其中t1,t2,L,tn是1,2,L,=a2=L=an或b1=b2=L=：反序和163。b2163。[11]：設a1163。z2)163。 依題設，構造復數z1=x+yi，z2=a+bi，則z1163。n+1n=n180。1nn2180。3248。+1247。+1247。1246。2，且n206。(A)的極大值點必在A==B時，f162。(A)=sin(C2A)，由f162。1+[8]形如f(x1,x2,L,xn)=sinx1sinx2Lsinxn的函數，其中0xi163。0，所以D179。通過構造一元二次方程，利用關于某一變元的二次三項式有實根時判別式的取值范圍， 設x,y206。=13(1+a+a)t22163。232。232。232。+231。+231。ab+bc+ca=231。230。230。R)，則c=13+(1+a)t，230。akb+abk，即ak+1+bk+1179。an1b+（1）當n=2時，a2+b2179。N)時成立的假設下，還能證明不等式在n=k+1時也成立， 已知：a,b206。32241180。3422180。***00022.,則 證明 令p=p212180。2134180。[4]證明 因為a1+a2+L+an=1，b1+b2+L+bn=1，所以 a1+a2+L+an=1，b1+b2+L+bn=a1b1+a2b2+L+anbn163。nb，則 n即baba179。+0，baabbaab0，ba179。247。第一篇：不等式的證明方法中原工學院 常用方法（作差法）[1]在比較兩個實數a和b的大小時，：作差——變形——判斷（正號、負號、零）.變形時常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化積、應用已知定理、 已知：a0，b0，求證：證明 a+b2a+b2179。0，故得 .在證題時，一般在a，b均為正數時，借助作商——變形——判斷（大于1或小于1）.例2 設ab0，求證：aabb 因為 ab0，所以 而abaab1或ab1來判斷其大小，步驟一般為：1，ab=231。ab1，故 aabb（逆推法）從要證明的結論出發，一步一步地推導，最后達到命題的已知條件（可明顯成立的不等式、已知不等式等）， 求證：5+71+ 要證3519+4155+71+15，即證12+23516+215，即352+15，41516，154，15 5+71+ [2]中原工學院證題時，從已知條件入手，經過逐步的邏輯推導，運用已知的定義、定理、公式等，最終達到要證結論， 已知：a，b同號，求證：證明 因為a，b同號，所以 則abab+ba179。由此經過合理的邏輯推導得出矛盾，從而否定假設，導出結論的正確性， 已知ab0，n是大于1的整數，求證：na 假設 na163。a，這與已知矛盾，所以na把所要證明的結論先分解為幾個較簡單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質， 已知：a1+a2+L+an=1，b1+b2+L+bn=1，求證: a1b1+a2b2+L+anbn163。1=1，222中原工學院[5]在證題過程中，根據不等式的傳遞性，常采用舍去一些正項（或負項）而使不等式的各項之和變小（或變大），或把和（或積）里的各項換以較大（或較小）的數，或在分式中擴大（或縮小）分式中的分子（或分母），“放”、“縮”得當，：改變分子（分母）放縮法、拆補放縮法、編組放縮法、尋找“中介量” 求證： 180。L180。=122180。9999100001212180。N)的不等式，當n取第一個值時不等式成立，如果使不等式在n=k(n206。1，求證：an+bn179。a(ak1b+abk1)abk+bk+1=akb+abk+(a2bk12abk+bk+1)=akb+abk+bk1(ab)2179。證明 設a=13t，b=13at(t206。1246。1249。1249。at247。+(1+a)t+(1+a)t3248。33 設a=sinq，則b=cosq；設x=sinj，則y=cosj 所以 ax+by=sinqsinj+cosqcosj=cos(qj)163。R，1+a2185。1+a2，故yax163。sin證明：記A+B=C，則f(x)=+B2=sinAsin(CA)sin2C2, 求導得 f162。(A)=cos(BA)0, 知f162。181故 .應用一些等式的結論，（1956年波蘭數學競賽題）、a,b,c為DABC的三邊長，求證：2ab+2ac+2bca+b+(a+b+c)證明 由海倫公式SDABC=兩邊平方，移項整理得16(SDABC)2p(pa)(pb)(pc)，其中p=.=2ab+2ac+2bcabc222222444而SDABC0, 所以 2a2b2+2a2c2+2b2c2a4+b4+按照一定的法則，把一個數或式分解為幾個數或式，使復雜問題轉化為簡單易解的基中原工學院本問題，以便分而治之，各個擊破， n179。230。+n=(1+1)+231。+L+231。232。=2+32+43+L+12n+1n13n180。L180。2，求證：b(x2y2)+2axy163。z2=(x+yi)2(a+bi)=[a(x2y2)2bxy]+[b(x2y2)+2axy]ib(xy)+2axy=Im(z1180。2故 b(x2y2)+2axy163。an，b1163。a1bt1+a2bt2+L+anbtn163。ab+bc+cd+ 因為a,b,c,d206。R，求證：4163。+24248。cos2x+3sinx163。(x)163。g162。(x)=0時，f162。0利用中值定理：f(x)是在區間[a,b]上有定義的連續函數，且可導，則存在x，axb，滿足f(b)f(a)=f162。(xy)cosx163。[3(11a+1b+1c)]3或 3(1+11ab+1c)163。(229。a2ibi163。b2i=B2,（2）i=1i=1n式中A0,B0,則（1）即 229。1（3）a2b22211下面證不等式(3),有均值不等式，a1b1A2+B2A2B2163。A2+，得nn2n229。2+i=2i=1AB(4)中原工學院根據（2），（4）式即2AB(229。i=11230。229。2證明 由柯西不等式n230。230。2231。229。231。229。i=1248。i=1248。ni=1163。 n+179。247。n+2230。231。232。 179。sinx248。247。179。+bn+2247。(x)=lnx+1,f162。13(alna+blnb+clnc)，即(a+b+c+cbc3)a+b163。1比較法比較法是證明不等式的最基本方法，具體有“作差”比較和“作商”比較兩種。例4，設a0，b0，a+b=1，證明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252證明：∵ a0，b0，a+b=1∴ab≤14或1ab≥4左邊=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+［(a+b)22ab］+(a+b)22aba2b2=4+(12ab)+12aba2b2≥4+(112)+8=252練習3：已知a、b、c為正數，n是正整數，且f(n)=1gan+bn+3求證：2f（n）≤f（2n）4分析法從理論入手，尋找命題成立的充分條件，一直到這個條件是可以證明或已經證明的不等式時，便可推出原不等式成立，這種方法稱為分析法。證明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+c+dcb+c+d＜c+aa+b+c+ddc+d+a＜d+bc+d+a+dad+a+b＜a+ca+b+c+d∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2綜上知：1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2練習5：已知：a＜2，求證：loga(a+1)＜16換元法換元法是許多實際問題解決中可以起到化難為易，化繁為簡的作用，有些問題直接證明較為困難，若通過換元的思想與方法去解就很方便，常用于條件不等式的證明，常見的是三角換元。1sec2θ=1cos2θcosθ例8：已知 x1=y+12=z23，求證：x2+y2+z2≥4314證明：設x1=y+12=z23=k于是x=k+1，y=zk1，z=3k+2把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k1)2+(3k+2)2=14(k+514)2+4314≥43147反證法有些不等式從正面證如果不好說清楚，可以考慮反證法，即先否定結論不成立，然后依據已知條件以及有關的定義、定理、公理，逐步推導出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結論，從而肯定原有結論是正確的，凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題，適宜用反證法。例10：設n∈N，且n＞1,求證：(1+13)(1+15)…(1+12n1)＞2n+12分析：觀察求證式與n有關，可采用數學歸納法證明：（1）當n=