放縮法(不等式、數列綜合應用)(留存版)

　　

【正文】 。故錯誤！未找到引用源。是公比為3的等比數列，且當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。；（2）求證:錯誤！未找到引用源。的通項；②是否存在這樣的正整數錯誤！未找到引用源。為公比的等比數列，當錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。即只要滿足 ①：錯誤！未找到引用源。．【江蘇省常州市2018屆高三上學期武進區高中數學期中試卷】在數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。的取值范圍是錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。使得對于任意錯誤！未找到引用源。即錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數集錯誤！未找到引用源。將上述不等式相加得： 錯誤！未找到引用源。；證明第三問時，充分借助（2）的結論可知錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。是公比大于錯誤！未找到引用源。綜上，錯誤！未找到引用源。成等差數列，①求數列錯誤！未找到引用源。的等比數列，故有錯誤！未找到引用源。1246。2235。（2）由an+1=anan+1得：an+11=an(an1)\an1=an1(an11)……a21=a1(a11)以上各式兩邊分別相乘得：an+11=anan1La2a1(a11)，又a1=2\an+1=anan1La2a1+1（3）要證不等式120061a1+1a2+L+1a20061，可先設法求和：1a1+1a2+L+a2006，再進行適當的放縮。x，當x=0時取到等號．（2）法1：數學歸納法（先猜想，再證明）法2：由ln2+lnan+1=an+1an+f(an+1an)得2an+1=an+1an+1，an+1=12an，an+11=12an1=an12an，1an+11=1an11，即數列237。n+2230。n+2=nl=n+247。1++L+231。an252。2+2180。n例已知數列{an}滿足an+1=a,0a1163。3時，求證：an+bn。、b、c為三角形的三邊，求證：1＜若欲證不等式含有與自然數n有關的n項和，可采用數列中裂項求和等方法來解題。1+x證明x第四篇：放縮法證明數列不等式經典例題放縮法證明數列不等式主要放縮技能： =2= nn+1n(n+1)nn(n1)n1n114411===2()22n4n1(2n+1)(2n1)2n12n+1n242.=== ===2)= ====== ==(21)2(2n1)(2n2)(2n1)(2n11)+22(n+1)n11== n(n+1)2n+1n(n+1)2n+1n2n(n+1)2n+1x2x+n*c=(n206。247。 n+1248。248。(x)0，即y=f(x)是單調遞減函數．所以f39。2**（2）當n2且n206。11*(k179。2232。在錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。時，因為錯誤！未找到引用源。的公差為錯誤！未找到引用源。即數列錯誤！未找到引用源。.（1）求證：數列錯誤！未找到引用源。求解第一問時，直接運用題設條件中所提供的條件信息進行驗證即可；解答第二問時，先運用題設條件中定義的信息可得錯誤！未找到引用源。又因為錯誤！未找到引用源。．6．【江蘇省泰州中學2018屆高三上學期開學考試】已知兩個無窮數列的前項和分別為（1），其中，設數列都為遞增數列，求數列的通項公式；（2）若數列①若數列②若數列滿足：存在唯一的正整數“墜點數列”，求 為“墜點數列”，數列，使得，稱數列為“墜點數列”.為“墜點數列”，是否存在正整數，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說明理由.【答案】（1）.（2）①，② ．【江蘇省南京師范大學附屬中學2017屆高三高考模擬一】已知數集錯誤！未找到引用源。？若存在，寫出一個滿足要求的數列；若不存在，說明理由．（2）當錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。將問題轉化成錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。即錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。實戰演練: 1．【江蘇省無錫市普通高中2018屆高三上學期期中】已知數列錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。.其中錯誤！未找到引用源。數列錯誤！未找到引用源。因此錯誤！未找到引用源。定義錯誤！未找到引用源。為等比數列，則有錯誤！未找到引用源。的通項公式；（2）設錯誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構造出等比數列的首項與公比，進而得出等比數列的通項公式，再與原通項公式進行比較，看不等號的方向是否符合條件即可。的等比數列，若不等式錯誤！未找到引用源。.9．已知數列{an}的前n項和為Sn，數列{bn}，{}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯誤！未找到引用源。是否具有性質錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。是數列錯誤！未找到引用源。.錯誤！未找到引用源。若不等式錯誤！未找到引用源。（累乘時要求不等式兩側均為正數），然后通過“累加”或“累乘”達到一側為錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。3+3180。N*).424222此題不等式左邊不易求和,此時根據不等式右邊特征, 先將分子變為常數，再對分母進行放縮，, 分母如果同時存在變量時, 要設法使其中之一變為常量，分式的放縮對于分子分母均取正值的分式。“放縮法”它可以和很多知識內容結合，對應變能力有較高的要求。n11112,an+1=an,\a2=a12163。(m－i+1)，Aimmm1Aimnn1mi+1ni+1=L,同理=L，mmmnnnmini由于m＜n，對于整數k=1，2，…，i－1，有nkmk，nmAinAim所以ii,即miAinniAimnm(2)由二項式定理有：22nn(1+m)n=1+C1nm+Cnm+…+Cnm，22mm(1+n)m=1+C1mn+Cmn+…+Cmn，由(1)知mAini＞nAimi(1＜i≤m＜n)，而CimAimiAin,Cn== i!i!∴miCin＞niCim(1＜m＜n)00222211∴m0C0n=nCn=1，mCn=nCm=m從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個方法就是推翻了原有放縮，重新進行設計，選擇放縮程度更小的方式再進行嘗試。（錯誤！未找到引用源。和錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。為實數，且錯誤！未找到引用源。還可放縮為：錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。的取值范圍；⑶ 設數列錯誤！未找到引用源。的通項公式；（2）是否存在自然數錯誤！未找到引用源。？若存在，寫出一個滿足要求的數列；若不存在，說明理由．（2）當錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。（關于錯誤！未找到引用源。注：此方法會存在風險，所猜出的等比數列未必能達到放縮效果，所以是否選擇利用等比數列進行放縮，受數列通項公式的結構影響（4）與數列中的項相關的不等式問題：① 此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對遞推公式進行變形② 在有些關于項的不等式證明中，可向求和問題進行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。解得錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.又錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。和②：錯誤！未找到引用源。中，錯誤！未找到引用源。項的和為錯誤！未找到引用源。； ⑶由⑴得錯誤！未找到引用源。因此數列錯誤！未找到引用源。有錯誤！未找到引用源。． 又錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。． 【答案】（1）不存在，理由見解析（2）證明見解析（3）證明見解析當錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。又錯誤！未找到引用源。的等差數列，求使錯誤！未找到引用源。的等差數列，又錯誤！未找到引用源。首項大于錯誤！未找到引用源。其中錯誤！未找到引用源。的通項公式； ②在錯誤！未找到引用源。即錯誤！未找到引用源。180。k(k1)k(k+1)Qan+11=an(an1)\1an+111an1a1=1an11an\=1an11a21an+111a2006\++L+=（1a1111a211)+（1a211a31)+L+（1a200611a20071)=a11a200711=1a1a2La20061又a1a2La2006a12006=22006\11a1a2La200612006\原不等式得證。236。ln231。n+1248。247。an+1； 253。3+L+n(n+1)，求證：an22對所有正整數n都成立。,求證：229。N*且n179。N*).23a2a3an+一個分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個真分式，分子、分母同時加上同一個正數則分式值變大，利用這些性質，可達到證題目的。N)nn1n01法1：2=Cn+Cn+...+Cn+Cn；法2：數學歸納法 法3：函數法（求導），證明：()+()+…+（nn*nnn1n)+（nnn)nee1提示:借助e179。2246。247。23n+1n+1232。(x)0，即y=f(x)是單調遞增函數；當x0時，f39。N恒有an+1an成立。1233。nn+1247。（3）錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。當錯誤！未找到引用源。.（3）設等差數列錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。.點睛：本題是一道新定義的遷移信息并利用信息的信息遷移題。使得錯誤！未找到引用源。綜上，錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。． 【解析】試題分析：（1）根據題設條件用累乘法能夠求出數列{an}的通項公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首項為2，公比為2的等比數列，由此能求出{bn}的通項公式．（2）bn=2n．假設存在自然數m，滿足條件，先求出錯誤！