行列式的計算方法研究畢業論文(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 ? ?． 再將上式等號右邊的第二個行列式按第一列展開，則可得到 ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 2 2 2 21 1 1nnn n n n nD a a a a a a? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?． 行列式的計算方法研究 7 遞（逆）推公式法 遞推法是根據行列式的構造特點，建立起 nD 與 1?nD 的遞推關系式，逐步推下去，從而求出 nD 的值。 有時也可以找到 nD 與 1?nD , nD 的遞推關系，最后利用 1D ... 2D 得到 nD 的值。 注意 :用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結構如果沒有的話，即很難找出遞推關系式，從而不能使用此方法。 等差數列遞推 例 1: 計算行列式??????????????????????10000000010001000??????????nD. 解：將行列式按第 n 列展開 ,有 21)( ?? ??? nnn DDD ???? , 1 1 2 1 1 2( ) , ( ) ,n n n n n n n nD D D D D D D D? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 得 nnnnnn DDDDDD ?????? ??????? ???? )()( 1223221 ?。 同理得 nnn DD ?? ?? ?1 , ??????????? ?? .,。,)1(11???? ?????nnnnnD 行列式的計算方法研究 8 例 2 ： 計算ayyyxayyxxayxxxaD n?????????? 解： 111)()(1010010001)(000???????????????????nnnnxayDyaxaxyxyxaxyxayDyaayyyxayyxxayxxxyayyxayxxaxxxyaD??????????????????????????? 同理 11 )()( ?? ???? nnn yaxDxaD 聯立解得 )(,)(( yxyx xayyaxDnnn ?? ???? ） 當 yx? 時 , ? ?1 2 1122 1 12( ) ( ) ( ) 2 ( )( ) ( 2) ( ) ( ) ( 1 )nnn n nn n nD a x D x a x a x D x a xa x D n x a x a x a n x????? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 行列式的計算方法研究 9 “一路直推” 例 1: 計算 n 階行列式1 2 2 11 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 1nn n nxxxDxa a a a a x???????． 解 首先建立遞推關系式．按第一列展開，得： ? ? ? ? ? ?1 1 1111 2 3 2 11 0 0 01 0 0 0 00 1 0 01 0 0 00 0 0 01 1 1 0 1 0 00 0 0 10 0 0 1n n nn n n n n nn n nxxxxD x a x D a x D axxxa a a a a x? ? ???? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????， 這里 1nD? 與 nD 有相同的結構，但階數是 1n? 的行列式． 現在，利用遞推關系式計算結果．對此，只需反復進行代換，得： ? ? ? ?2 2 1 2 22 1 2 1 3 2 1 1 2 2 1 nnn n n n n n n n n n n n n nD x x D a a x D a x a x x D a a x a x D a x a x a x a??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，因 111D x a x a? ? ? ?，故 111nnn n nD x a x a x a? ?? ? ? ? ?． 最后，用數學歸納法證明這樣得到的結果是正確的． 當 1n? 時，顯然成立．設對 1n? 階的情形結果正確，往證對 n階的情形也正確．由 ? ?1 2 11 1 2 1 1 1 n n n nn n n n n n n nD x D a x x a x a x a a x a x a x a? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，可知，對 n階的行列式結果也成立．根據歸納法原理，對任意的正整數 n，結論成立． 對角直遞 例 1： 證明 n階行列式2 1 0 0 0 01 2 1 0 0 010 0 0 1 2 10 0 0 0 1 2nDn? ? ?． 行列式的計算方法研究 10 證明 : 按第一列展開，得 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 01 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 020 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 10 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 2nD ??． 其中，等號右邊的第一個行列式是與 nD 有相同結構但階數為 1n? 的行列式，記作 1nD? ；第二個行列式，若將它按第一列展開就得到一個也與 nD 有相同結構但階數為 2n? 的行列式，記作 2nD? ． 這樣，就有遞推關系式： 122n n nD D D????． 因為已將原行列式的結果給出，我們可根據得到的遞推關系式來證明這個結果是正確的． 當 1n? 時， 1 2D? ，結論正確．當 2n? 時，2 21 312D ??，結論正確． 設對 1kn?≤ 的情形結論正確，往證 kn? 時結論也正確． 由 ? ?122 2 1 1n n nD D D n n n??? ? ? ? ? ? ? 可知，對 n階行列式結果也成立． 根據歸納法原理，對任意的正整數 n，結論成立． 分析 :此行列式的特點是：除主對角線及其上下兩條對角線 的元素外，其余的元素都為零，這種行列式稱“三對角”行列式 [1]。從行列式的左上方往右下方看，即知 Dn1與 Dn具有相同的結構。因此可考慮利用遞推關系式計算。 行列式的計算方法研究 11 利用范德蒙行列式 根據行列式的特點，適當變形（利用行列式的性質 —— 如：提取公因式；互換兩行（列）；一行乘以適當的數加到另一行（列）去； ...) 把所求行列式化成已知的或簡單的形式。其中范德蒙行列式就是一種。這種變形法是計算行列式最常用的方法。 變形范德蒙行列式 例 1 計算行列式122 2 21 1 2 21 2 1 2 1 21 1 2 21 1 11 1 1nnnn n n n n nnnx x xD x x x x x xx x x x x x? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? 解 把第 1行的－ 1 倍加到第 2行，把新的第 2行的－ 1倍加到第 3 行，以此類推直到把新的第 n－ 1行的－ 1倍加到第 n行，便得范德蒙行列式 122 2 21211 1 1121 1 1()nn i jn i jn n nnx x xD x x x x xx x x? ? ?? ? ?? ? ?? 例 2：計算 1n? 階行列式 1 2 2 11 1 1 1 1 1 1 11 2 2 12 2 2 2 2 2 2 21 2 2 11 1 1 1 1 1 1 1n n n n nn n n n nn n n n nn n n n n n n na a b a b