構造法在中學數學中的應用研究畢業論文(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 因為2 2 2 2( 1 ) ( 1 ) 2y x y O A O C A C? ? ? ? ? ? ? ???22 2( 1 ) 1 2x y B D BD? ?固所給結論成立。 上述問題的變式很多，作者曾做到過很多類似的問題，如某市中考模擬卷中有如下一個問題： 變式 1：在 ABC? 中， ,AB BC AC 三邊的長為 10 5 1 、 ，求這個三角形的 積？ 解析：用高中數學知識解答是能夠完成 ，通過聯立 2 2 2 2 c o sc a b ab c? ? ? ， 1 sin2S ab c? 兩個公式即可解決，但是計算起來相對復雜，況且是初中數學問題。 三角形是一個一般三角形，三邊無規律性， 所以解決這類問題 ，可以通過增補的方法使之呈現規則的形式。增補方式如 圖 5 所示 ， 圖 5 在日常解題過程中要注意對問題的歸納， 再 遇到一個新問題時 ，尤其是自己無從下手的問題，需要我們聯想到一個類似的問題，最終將它轉化成一個簡單的圖 4 CEDF OA B常熟理工學院畢業設計（論文） 7 問題。其次要考慮它們的圖像意義，能夠將抽象的問題直觀化。上述兩個例題主要分析了絕對值和根號問題解答過程中所應聯想到的方法。構造圖像解數學問題是中學中每一位學生都必須掌握的，利用好圖像工具不僅僅有利于問題的解決，更能增加學生的學習興趣。 用構造法求解數列問題 數列是中學數學最為重要的內容，也是高考考查的重點和難點。數列與數、式、函數、方程、不等式、三角函數、解析幾何的關系十分密切。數列中的遞推思想，函數思想，分類討論思想以 及數列求和，求通項等各種方法和技巧在中學數學中都有十分重要的地位。解決數列問題，往往不可忽視構造法的應用，這也是數列的難點所在，很多數列問題題目較短，所給的文字信息有限，學生在做題時不容易找到突破口。其實，解題的方向就在題目中所給的關系式，只需通過合適的關系變換就容易解決。如數列求通項 例 5：已知數列 {}na 滿足 114, 3 2nna a a ?? ? ?， 求數列通項 na 解析：題目中只給出了 1na? ， na 的關系，沒有其他條件，解題的難點就在于如何轉化關系式。表面上看既不符合等差關系也不符合等比關系，但是如果將關系式 132nnaa???構造成關系式 3( )nna d a d? ? ?。 就能直觀的看出通項 {}nad? 是等比數列，只需求出 d 即可。完整過程如下： 例 5：已知數列 {}na 滿足 114, 3 2nna a a ?? ? ?， 求數列通項 na 解 : 132nnaa??? 構造如下關系式： 13( )nna d a d? ? ?； 可 得 ： =1d11 31nnaa?? ??即 ： 11 4 , 1 3 { 1 } 3 3na a a? ? ? ? ?， 是 首 項 為 ， 公 比 為 的 等 比 數 列 即： 13nna ?? 結論： 當題目中出現如關系式 11, ( , ,nna A a B a c A B C?? ? ? 均 為 常 數 ， 1B?， 0)C? 時 ， na可 用 構 造 等 比 數 列 的 方 法 求 數 列 的 通 項 公 式 ： 1 ()nna m B a m? ? ? ? ( ) , { }11nCCmaBB????其 中 從 而 得 出 B是 以 為 公 比 的 等 比 數 列。 常熟理工學院畢業設計（論文） 8 上述數列的函數表達式是 (,nna pa q p q? ? ?其 中 是 常 數 ， 且 1,0 ），通過構造等比數列形式能夠容易解出來。但是遇到 ( ) ( 0 , 1nna pa f n p? ? ?其 中 是 常 數 ， 且 ）形式時， 又該如何做呢？ 如： 例 6：已知數列 {}na 滿足1111 , 2 1 , ( 2 ) ,2nna a a n n?? ? ? ? ?求 na 。 解析：這里與上 一 題明顯的區別是后面的常數轉換 成了關于 n 的一次函數。用上述的構造方法做是行不通的 。如何使這種形式向這方面來轉換，我們發現 na 與1na? 的系數為 2 倍關系，能否將上述 11 212nna a n?? ? ?轉換成 112nnb b m???形式。 例 6：已知數列 {}na 滿足1111 , 2 1 , ( 2 ) ,2nna a a n n?? ? ? ? ?求 na 解： 1111 , 2 1 , ( 2 ) ,2nna a a n n?? ? ? ? ? ? 114 2 12nna n a n?? ? ? ? 即： 114 [ ( 4 ( 1 ) ] 32nna n a n?? ? ? ? ? 現令： 4nna n b?? 可得： 11 32nnbb??? 同上所得： 13 462n nan?? ? ? 結論：當諸如 遇到以上數列形式時，即： 1nna pa qn b?? ? ?。類比 1nna pa q???，通過下述方法進行構造：1nna pa qn b?? ? ? 1[ ( 1 ) ]1 1 1nnq q aa n p a n bp p p?? ? ? ? ? ?? ? ?， 再 令1nnqa n bp???，從而實現形式的轉換。 構造法在數列解題 中的應用非常廣泛，不論在求通項方面還是在求和方面都有涉及。構造法在解題過程中充當著中介的作用，使一些看似復雜，不符合常規方式的數列經過中介作用變成簡單的等差或者等比數列。還有許許多多的構造方法在此就不在一一論述，如：構造圖形法解數列題：等差數列數列 {}na ，其中，1820, 15aa? ? ? ，問在哪項時 nS 最大。（提示，等差數列的圖像相當于一次函數的常熟理工學院畢業設計（論文） 9 圖像） ； 構造倒數式：數列 {}na 中， nS 是前 n 項和，且 nS 0? ， 1 1a? ， 已知 22 ( 2)2 1nn nSanS??， 求 nS 與 na 。（提示：構造等式 1n n na S S ??? ， 與提干中的條件22 ( 2)2 1nn nSanS??聯立起來，可得： 112n n n nS S S S???? ，兩邊同除 1nnSS? ，即可得出1{}nS是以 2 為公差的等差數列）等。 。 三角函數是中學數學的重要內容之一，其考察方式主要與代數，幾何知識進行聯系，它是研究其他各部分知識的重要工具，又是高考考察雙基的重要內容。應用三角函數方法解題技巧靈活，方式多樣，同學不容 易掌握。尤其是以下幾種情況： ○ 1 常值代換，特別是“ 1”的代換，如： 221 sin cosxx?? ○ 2 特殊替代，尤其是含有“ ” 的情況，如 21 x? ， 需要用 sinx 代替題目中的 x 。 ○ 3 萬能代換，利用所學的萬能公 式。 在做三角函數題時，需要學生熟練掌握和，差，倍，半角的三角公式，利用銳角三角函數的定義，勾股定理，正弦定理，余弦定理等常用解題工具，能夠認真分析和歸納題目要求，把握其中的方法和技巧，能通過恰當的變換，構造出相對簡單和熟悉的三角結構出來，從而解決問題。下面通過幾個用構造三角函數法解數學問題的案例來進一步學習三角函數的應用。 一 ：常值構造法。 例 7：已知 ? ?1sin c o s , 0 , ,5? ? ? ?? ? ?求 cot? 的值。 解： 由 條件 ? ?1sin c o s , 0 , ,5? ? ? ?? ? ? 可得： ? ?2 1s in c o s 25????， 展開可得： 22 1sin 2 sin c o s c o s 25? ? ? ?? ? ? 因為 ： 22sin cos 1????， 代換得： 常熟理工學院畢業設計（論文） 10 12sin cos 25???? 同理： 22sin co s 1 2=sin co s 2 5??? ， 分子分母同除以 ： sin cos?? ， 可得： 1 1 2ta n co t 2 5????? ， 因為： ? ?0,??? ，所以最終可得： 3cot 4??? 例 8：求函數 s i n c o s s i n c o sy x x x x? ? ?的最大值和 最小值。 解：構造模型： s in c o s 2 s in ( )4x x x ?? ? ?t? ? ?22t? ? ? 兩邊同平方： 22sin cosxx? 2sin cosxx? =2t 常值構造： 22sin cos 1xx?? 則： ? ?2 1sin cos 2txx ?? 可