不等式證明的若干種方法_畢業論文(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 bba baba ? . 分析： 對于含有冪指數類的用作 商法 證明 因為 0??ba ，所以 1?ba ， 0??ba . 而 1?????????baabbababa ba，故 abba baba ? ． 故原不等式成立。 綜合法 綜合法就是從已知式證明過的不等式出發，根據不等式的性質推出欲證的不等式，通過一系列已 確定的命題（包含不等式的性質，已掌握的重要不等式）逐步推演，從而得到所要求證的不等式成立，這種方法叫做綜合法。 例 已知 ab? 且 ,ab R?? 求證： 3 3 2 2a b a b ab? ? ?． 證： ab? 所以 2 2 2( ) 0 2 0a b a a b b? ? ?? ? ? ? 8 22a ab b ab?? ? ? ?兩邊同時乘 ab? 得 22( ) ( ) ( )a a b b a b a b a b? ? ? ? ?即 3 3 2 2a b a b ab? ? ?． 故原不等式成立。 分析法 從求證的不等式出發分析不等式成立的條件，把證明這個不等式轉化為判定使這個不等式成立的條件是否具備的問題。如果能夠肯定這些條件都以具備，那么就可以判定這個不等式成立，這種證明方法叫做分析法。 例 求證： 3 6 2 2 7? ? ?． 證即： 因為 9 6 0 , 8 7 0? ? ? ? 因為為了證明原不等式成立，只需證明 22 )78()69( ??? 即 1 5 2 5 4 1 5 2 5 6? ? ? 即 54 56? 即 54 56? 故原不等式成立。 換元法 換元法實質上就是變量代換法，即對所證不等式的題設和結論中的字母作適當的變換，以達到化難為易的目的。 例 － 1≤ 21 x? － x≤ 2 ． 證明：∵ 1－ x2 ≥0， ∴ － 1≤x≤1，故可設 x = cos? ，其中 0≤? ≤? ． 則 21 x? － x = ?2cos1? － cos? = sin? － cos? = 2 sin(? － 4? )， ∵ － 4? ≤ ? －4? ≤ 43? ， ∴ － 1≤ 2 sin(? － 4? )≤ 2 ，即 － 1≤ 21 x? － x≤ 2 ． 故原不等式成立。 增量代換法 在對稱式 (任意互換兩個字母，代數式不變 )和給定字母順序 (如 a＞ b＞ c)的不等式， 常用增量進行代換，代換的目的是減少變量的個數，使要證的結論更清晰，思路更直觀，這樣可以使問題化難為易，化繁為簡。 9 例 已知 a， b?R，且 a＋ b = 1，求證： (a＋ 2)2 ＋ (b＋ 2)2 ≥225 ． 證明：∵ a， b?R，且 a＋ b = 1，∴設 a =21 ＋ t， b=21 － t， (t?R) 則 (a＋ 2)2 ＋ (b＋ 2)2 = (21 ＋ t＋ 2)2 ＋ (21 － t＋ 2)2 = (t＋ 25 )2 ＋ (t－ 25 )2 = 2t2 ＋225 ≥225 ． ∴ (a＋ 2)2 ＋ (b＋ 2)2 ≥225 ． 故原不等式成立。 反證法 反證法的原理是：否 定之否定等于肯定。反證法的思路是“假設 ?矛盾 ?肯定”，采用反證法時，應從與結論相反的假設出發，推出矛盾的過程中，每一步推理必須是正確的。 例 已知 33 2 , ( , )a b a b R? ? ? 求證 ： 2ab??． 證：假設 2ab??成立則 3( ) 8ab??． 即 3 3 2 23 3 8a b a b a b? ? ? ?332ab?? ( ) 2ab a b? ? ?． 2 2 3 3( ) ( ) 2a b a a b b a b? ? ? ? ? ?． 22( ) ( ) ( )a b a b a b a a b b? ? ? ? ? ?． 2ab??． 22ab a ab b? ? ? ?由此得 2( ) 0ab??，這是不可能的， 得出矛盾。 2ab? ? ? ． 故原不等式成立。 放縮法 放縮法是證明不等式的一種特殊的方法。從不等式的一邊入手，逐漸放大或縮小不等式，直到不等式的另一邊，這種方法叫做放縮法。 例 求證：2 2 2 21 1 1 1 21 2 3 n? ? ? ? ? *()nN? 證： * ,2k N k n? ? ?有21 1 1 1( 1 ) 1k k k k k? ? ???． 10 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 11 [ ( ) ( ) ( ) ]1 2 3 1 2 2 3 1n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??111 (1 ) 2 2nn? ? ? ? ? ?． 所以 2 2 2 21 1 1 1 21 2 3 n? ? ? ? ?． 故原不等式成立。 構造法 構造法是通過類比、聯想、轉化，合理的構造函數模型，從而使問題迎刃而解。過程簡單，一目了然。 例 已知三角形 ABC 的三邊長是 a,b,c,且 m為正數，求證：mc cmb bma a ????? . 證明：設 ),0(,)( ????? xmx xxf 顯然函 數 mx xxf ??)( 在 ),0( ???x 是增函數。 ?a,b,c 是三角形 ABC 的三邊長 . ? cba ?? ， )()( cfbaf ??? ， 即 mc cmba ba ???? ? ， 又 mba bamba bmba amb bma a ?? ???????????? ． ????? mb bma a mc cmba ba ???? ? ． ? mc cmb bma a ????? . 故原不等式成立。 數學歸納法 證明有關自然數 n 的不等式，可以采用數學歸納法來證明。 n 取第一個數值 0n 0( *)nN? 時，不等式成立， n 取某一自然數 0()k k n? 時，不等式成立。（歸納假設），由此 推演出 n 取 1k? 時，此不等式成立。 11 例 求證： 1 1 11223 nn? ? ? ???? ? *()nN? 證：（ 1）當 1n? 時，左邊 =1，右邊 =2 不等式顯然成立。