2000-20xx年考研數學三歷年真題及真題解析(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 x y x y? ? ?，則 （ A） 3 2 1I I I?? （ B） 1 2 3I I I?? （ C） 213I I I?? （ D） 3 1 2I I I?? (9) 設 0, 1, 2, ,nan?? 若1 nn a???發散， ? ? 11 1n nn a? ?? ??收斂，則下列結論正確的是 （ A）211 nn a????收斂，21 nn a???發散 （ B）21 nn a???收斂，211 nn a????發散 （ C） ? ?2 1 21 nnn aa??? ??收斂 （ D） ? ?2 1 21 nnn aa??? ??收斂 20202020 年考研數學三歷年真題及真題解析 42 (10) 設 ? ? sin co sf x x x x??，下列命題中正確的是 （ A） ??0f 是極大值，2f ???????是極小值 （ B） ??0f 是極小值 ，2f ???????是極大值 （ C） ??0f 是極大值，2f ???????也是極大值 （ D） ??0f 是極小值，2f ???????也是極小值 (11) 以下四個命題中，正確的是 （ A）若 ??fx? 在 ? ?0,1 內連續，則 ??fx在 ? ?0,1 內有界 （ B）若 ??fx在 ? ?0,1 內連續，則 ??fx在 ? ?0,1 內有界 （ C）若 ??fx? 在 ? ?0,1 內有界，則 ??fx在 ? ?0,1 內有界 （ D）若 ??fx在 ? ?0,1 內有界，則 ??fx? 在 ? ?0,1 內有界 (12) 設矩陣 ? ?33ijAa??滿足 * TAA? ，其中 *A 為 A 的伴隨矩陣， TA 為 A 的轉置矩陣 . 若 11 12 13,a a a 為三個相等的正數，則 11a 為 （ A） 33 （ B） 3 （ C） 13 （ D） 3 (13) 設 12,??是矩陣 A 的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為 12,??，則 ? ?1 1 2, A? ? ?? 線性無關的充分必要條件是 （ A） 1 0?? （ B） 2 0?? （ C） 1 0?? （ D） 2 0?? (14)（注：該題已經不在數三考綱范圍內） 三、解答題：本 題共 9 小題，滿分 94 分 . 請將解答寫在答題紙指定的位置上 . 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . （ 15）（本題滿分 8 分） 20202020 年考研數學三歷年真題及真題解析 43 求011lim 1 xxxex???????????. （ 16）（本題滿分 8 分） 設 ??fu具有二階連續導數，且 ? ?, yxg x y f yfxy?????? ?????? ??，求 2222ggxyxy???. （ 17）（本題滿分 9 分） 計算二重積分221D x y d?????，其中 ? ?? ?, 0 1 , 0 1D x y x y? ? ? ? ?. （ 18）（本題滿分 9 分） 求冪級數 211 121 nn xn??????????? 在區間 ? ?1,1? 內的和函數 ??Sx. （ 19）（本題滿分 8 分） 設 ? ? ? ?,f x g x 在 ? ?0,1 上的導數連續，且 ? ? ? ? ? ?0 0 , 0 , 0f f x g x??? ? ?.證明：對任何 ? ?0,1?? ，有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?100 1a g x f x dx f x g x dx f a g?????? 20202020 年考研數學三歷年真題及真題解析 44 （ 20）（本題滿分 13分） 已知齊次線性方程組 （ⅰ） 1 2 31 2 31 2 32 3 0,2 3 5 0,0,x x xx x xx x ax? ? ???? ? ???? ? ?? 和 （ⅱ） ? ?1 2 321 2 30,2 1 0 ,x bx cxx b x c x? ? ????? ? ? ??? 同解，求 ,abc的值 . （ 21）（本題滿分 13分） 設TACD CB???????為正定矩陣，其中 ,AB分別為 m 階， n 階對稱矩陣， C 為 mn? 階矩陣 . （ Ⅰ ）計算 TPDP ，其中 1mnE A CP OE????? ????； （ Ⅱ ）利用（ Ⅰ ）的結果判斷矩陣 1TB C A C?? 是否為正定矩陣，并證明你的結論 . 20202020 年考研數學三歷年真題及真題解析 45 （ 22）（本題滿分 13分） 設二維隨機變量 ? ?,XY 的概率密度為 ? ? 0 , 0 1 , 0 2 , 1, x y xf x y ? ? ? ??? ?? 其 它 . 求：（ Ⅰ ） ? ?,XY 的邊緣概率密度 ? ? ? ?,XYf x f y ； （ Ⅱ ） 2Z X Y??的概率密度 ??Zfz； （ Ⅲ ） 1122P Y X????????. （ 23）（本題滿分 13分） 設 ? ?12, , , 2nX X X n ?為來自總體 ? ?20,N ? 的簡單隨機樣本，其樣本均值為 X ，記 , 1, 2 , ,iiY X X i n? ? ?. （ Ⅰ ）求 iY 的方差 , 1, 2, ,iDY i n? ； （ Ⅱ ）求 1Y 與 nY 的協方差 ? ?1, nCov Y Y ； （ Ⅲ ）若 ? ?21 nc Y Y? 是 2? 的無偏估計量，求常數 c . 20202020 年考研數學三歷年真題及真題解析 46 2020 年全國碩士研究生入學統一考試 數學三試題 一、填空題： 1－ 6小題，每小題 4分，共 24分 . 把答案填在題中橫線上 . (1) ? ?11lim ______ .nnn n ?????? ????? (2) 設函數 ()fx在 2x? 的某鄰域內可導，且 ? ? ? ?efxfx? ? ， ? ?21f ? ，則? ?2 ??? ? (3) 設函數 ()fu 可微，且 ? ? 10 2f? ? ，則 ? ?224z f x y??在點 (1,2)處的全微分? ?1,2d _____ .z ? (4) 設矩陣 2112A ????????， E 為 2 階單位矩陣，矩陣 B 滿足 2BA B E?? ，則 ?B . (5)設隨機變量 XY與 相互獨立，且均服從區間 ? ?0,3 上的均勻分布，則? ?? ?m ax , 1P X Y ??_______. (6) 設總體 X 的概率密度為 ? ? ? ?121 , , , ,2 x nf x e x X X X?? ? ? ? ? ? ?為總體 X的簡單隨機樣本，其樣本方差為 2S ，則 2 ? 二、選擇題： 7－ 14 小題，每小題 4 分，共 32 分 . 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內 . (7) 設函數 ()y f x? 具有二階導數，且 ( ) 0, ( ) 0f x f x? ????， x? 為自變量 x 在點 0x 處的增量， dyy?與 分別 為 ()fx在點 0x 處對應的增量與微分，若 0x?? ，則（） (A) 0dyy? ?? . (B) 0dyy?? ? . (C) d0yy? ? ? . (D) d0yy?? ? . 20202020 年考研數學三歷年真題及真題解析 47 (8) 設函數 ??fx在 0x? 處連續，且 ? ?220lim 1hfhh? ?，則（） (A) ? ? ? ?0 0 0ff??? 且 存在 (B) ? ? ? ?0 1 0ff??? 且 存在 (C) ? ? ? ?0 0 0ff??? 且 存在 (D) ? ? ? ?0 1 0ff??? 且 存在 (9) 若 級數1 nn a???收斂，則級數（） (A) 1 nn a???收斂 . （ B）1( 1)n nn a?? ??收斂 . (C) 11 nnn aa????收斂 . (D) 11 2nnnaa? ???? 收斂 . (10) 設非齊次線性微分方程 ( ) ( )y P x y Q x???有兩個不同的解 12( ), ( ),y x y x C 為任意常數，則該方程的通解是（） (A) ? ?12( ) ( )C y x y x? . (B) ? ?1 1 2( ) ( ) ( )y x C y x y x??. (C) ? ?12( ) ( )C y x y x? . (D) ? ?1 1 2( ) ( ) ( )y x C y x y x?? (11) 設 ( , ) ( , )f x y x y?與 均為可微函數，且 ( , ) 0y xy?? ? ，已知 00( , )xy 是 ( , )f xy 在約束條件 ( , ) 0xy? ? 下的一個極值點，下列選項正確的是（） (A) 若 00( , ) 0xf x y? ? ，則 00( , ) 0yf x y? ? . (B) 若 00( , ) 0xf x y? ? ，則 00( , ) 0yf x y? ? . (C) 若 00( , ) 0xf x y? ? ，則 00( , ) 0yf x y? ? . (D) 若 00( , ) 0xf x y? ? ，則 00( , ) 0yf x y? ? . (12) 設 12, , , s? ? ? 均為 n 維列向量， A 為 mn? 矩陣，下列選項正確的是（） (A) 若 12, , , s? ? ? 線性相關，則 12, , , sA A A? ? ?線性相關 . (B) 若 12, , , s? ? ? 線性相關，則 12, , , sA A A? ? ?線性無關 . (C) 若 12, , , s? ? ? 線性無關，則 12, , , sA A A? ? ?線性相關 . 20202020 年考研數學三歷年真題及真題解析 48 (D) 若 12, , , s? ? ? 線性無關，則 12, , , sA A A? ? ?線性無關 . (13) 設 A 為 3 階矩陣，將 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再將 B 的第 1 列的 1? 倍加到第 2 列得 C ，記 1 1 00 1 00 0 1P???????，則（） (A) 1C P AP?? . (B) 1C PAP?? . (C) TC P AP? . (D) TC PAP? . (14) 設隨機變量 X 服從正態分布 211( , )N?? ，隨機變量 Y 服從正態分布 222( , )N?? ，且 ? ? ? ?1211P X P Y??? ? ? ? ? 則必有（） (A) 12??? (B) 12??? (C) 12??? (D) 12??? 三、解答題 ： 15－ 23 小題，共 94分 . 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . （ 15）（本題滿分 7 分） 設 ? ? 1 s i n, , 0 , 01 a r c t a nxyy yf x y x yx y x??? ? ? ?? ，求： (Ⅰ ) ? ? ? ?lim ,yg x f x y? ???； (Ⅱ ) ? ?0limx gx??。 20202020 年考研