高考數學導數及其應用考點歸納(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 )fx的最大值． 因此，當 12xr? 時， S 也取得最大值，最大值為 21 3 322f r r???????． 即梯形面積 S 的最大值為 2332 r ． 7．設函數 22( ) 2 1 ( 0)f x tx t x t x t? ? ? ? ? ?R ，． 4r C D A B 2r C D A B O x y （Ⅰ）求 ()fx的最小值 ()ht ； （Ⅱ）若 ( ) 2h t t m?? ? 對 (02)t? ， 恒成立，求實數 m 的取值范圍． 解：（Ⅰ） 23( ) ( ) 1 ( 0)f x t x t t t x t? ? ? ? ? ? ?R ， ?當 xt?? 時， ()fx取最小值 3( ) 1f t t t? ? ? ? ?，即 3( ) 1h t t t?? ? ?． （Ⅱ）令 3( ) ( ) ( 2 ) 3 1g t h t t m t t m? ? ? ? ? ? ? ? ?， 由 2( ) 3 3 0g t t? ? ? ? ?得 1t? ， 1t?? （不合題意，舍去）． 當 t 變化時 ()gt? ， ()gt 的變化情況如下表： t (01)， 1 (12)， ()gt? ? 0 ? ()gt 遞增 極大值 1m? 遞 減 ()gt? 在 (02)， 內有最大值 (1) 1gm?? ． ( ) 2h t t m?? ? 在 (02)， 內恒成立等價于 () 0gt? 在 (02)， 內恒成立， 即等價于 10m??，所以 m 的取值范圍為 1m? ． 點評： 本題主要考查函數的單調性、極值以及函數導數的應用，考查運用數學知識分析問題解決問題的能力． 8．設函數 2( ) ln( )f x x a x? ? ?,若當 1x?? 時， ()fx取得極值，求 a 的值，并討論 ()fx的單調性 . 解： 1( ) 2f x xxa? ???，依題意有 ( 1) 0f??? ，故 32a? ． 從而 22 3 1 ( 2 1 ) ( 1 )()3322x x x xfxxx? ? ? ?? ????． ()fx的定義域為 32????????， ∞， 當 3 12 x? ? ?? 時， ( ) 0fx? ? ；當 11 2x? ? ?? 時， ( ) 0fx? ? ；當 12x?? 時， ( ) 0fx? ? ． 從而， ()fx分別在區間 31122? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ， ， ∞單調增加，在區間 112????????，單調減少． 高中數學 精講精練 第六章 不等式 【 知識 圖解】 基本不等式 應用 證明 【 方 法點撥 】 不等式是高中數學的重要內容之一，不等式的性質是解 、 證不等式的基礎，兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的定理及其變形在不等式的證明和解決有關不等式的實際問題中發揮著重要的作用 .解不等式是研究方程和函數的重要工具，不等式的概念和性質涉及到求最大（小）值，比較大小，求參數的取值范圍等，不等式的解法包括解不等式和求參數，不等式的綜合題主要是不等式與集合、函數、數列、三角函數、解析幾何、導數等知識的綜合，綜合性強，難 度較大，是高考命題的熱點，也是高考復習的難點 . 1. 掌握用基本不等式求解最值問題，能用基本不等式證明簡單的不等式，利用基本不等式求最值時一定要緊扣“一正、二定、三相等”這三個條件。 2. 一元二次不等式是一類重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯系和相互轉化。 3. 線性規劃問題有著豐富的實際背景，且作為最優化方法之一又與人們日常生活密切相關，對于這部分內容應能用平面區域表示二元一次不等式組，能解決簡單的線性規劃問題。同時注意數形結合的思想在線性規劃中的運用。 第 1 課 基本不等式 【考點 導讀 】 1. 能用基本不等式證明其他的不等式，能用基本不等式求解簡單的最值問題。 2. 能用基本不等式解決綜合形較強的問題。 【基礎 練習 】 1.“ ab0”是 “ ab 222ab?” 的 充分而不必要條件 (填寫 充分而不必要條件 、 必要而不充分條件 、 充分必要條件 、 既不充分也不必要條件 ) 2. cabcabaccbba ???????? 則,2,2,1 222222 的最小值為 1 32? ,x y R?? ，且 41xy??，則 xy? 的最大值為 161 lg lg 1xy??，則 52xy?的最小值是 2 【 范例導析 】 例 54x? ，求函數 142 45yx x? ? ? ?的最大值 . 分析：由于 4 5 0x?? ，所以首先要調整符號 . 解：∵ 54x? ∴ 5 4 0x?? ∴ y=4x2+ 145x? = 15 4 354x x??? ? ? ??????≤ 2+3=1 當且僅當 154 54x x??? ，即 x=1時，上式成立，故當 x=1時， max 1y ? . 例 2.（ 1） 已知 a， b為正常數， x、 y 為正實數，且 1ab+=xy，求 x+y 的最小值。 （ 2） 已知 00 ?? yx ， ，且 302 ??? xyyx ，求 xy 的最大值． 分析：問題（ 1）可以采用常數代換的方法也可以進行變量代換從而轉化為一元函數再利用基本不等式求解；問題（ 2）既可以直接利用基本不等式將題目中的等式轉化為關于 xy 的不等式，也可以采用變量代換轉換為一元函數再求解 . 解 :(1)法一：直接利用基本不等式： a b bx ayx + y = (x + y )( + ) = a + b + +x y y x≥ +b+2 ab 當且僅當ay bx=xyab+ =1xy???????，即 x=a+ aby=b+ ab?????時等號成立 法二： 由 ab+ =1xy得 ayx=yb a y a ( y b ) a bx y y yy b y ba b a ba y ( y b ) a by b y b??? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???? ∵ x0， y0， a0 ∴ 由 ayyb0得 yb0 ∴ x+y≥2 ab+a+b 當且僅當ab = ybybab+ =1xy???????，即 y=b+ abx=a+ ab?????時，等號成立 （ 2） 法一 ： 由 302 ??? xyyx ，可得， )300(230 ????? xxxy 　 ． x xxxxxxy ? ????????? 2 64)2(34)2(230 22 ?????? ????? 264)2(34 xx 注意到 16264)2(2264)2( ???????? xxxx．可得， 18?xy ． 當且僅當 2642 ??? xx ，即 6?x 時等號成立，代入 302 ??? xyyx 中得 3?y ，故 xy 的最大值為 18． 法二 ： ??Ryx,? ， xyxyyx ????? 22222 ， 代入 302 ??? xyyx 中得： 3022 ??? xyxy 解此不等式得 180 ??xy ．下面解法見解法一，下略． 點撥： 求 條件最值的問題，基本思想是借助條件化二元函數為一元函數，代入法是最基本的方法，也可考慮通過變形直接利用基本不等式解決 . 【反饋練習】 a＞ 1,且 2l o g ( 1 ) , l o g ( 1 ) , l o g (2 )a a am a n a p a? ? ? ? ?,則 pnm, 的大小關系為 m＞ p＞ n 下列 四個結論： ① 若 , Rba ? 則 22 ????baabbaab； ② 若 ??Ryx, ,則 yxyx lglg2lglg ?? ； ③ 若 ,??Rx 則 4424 ??????xxxx； ④ 若 ,??Rx 則 222222 ???? ?? xxxx 。 其中正確的是 ④ 1( )( ) 9axyxy? ? ?對任意正實數 ,xy恒成立，則正實數 a 的最小值為 6 4.（ 1） 已知： 0??xy ，且： 1?xy ，求證： 2222 ??? yx yx，并且求等號成立的條件． （ 2） 設實數 x， y 滿足 y+x2=0， 0a1，求證： ? ?xyalog a +a ≤ 1log 28?a。 解： （ 1）分析： 由已知條件 ??Ryx， ，可以考慮使用均值不等式，但所求證的式子中有 yx? ，無法利用 xyyx 2?? ，故猜想先將所求證的式子進行變形，看能否出現)( 1)( yxyx ???型，再行論證． 證明： ,0 ?????? xyyxyx ?? 又 yx xyyxyx yx ? ?????? 2)(222yxyx ???? 2)( .22)( 2)(2 ????? yxyx等號成立 當且僅當)( 2)( yxyx ???時． .4,2,2)( 222 ??????? yxyxyx ,6)(,1 2 ???? yxxy? .6??? yx 由以上得 2 26,2 26 ???? yx 即當 2 26,2 26 ???? yx 時等號成立． 說明： 本題是基本題型的變形題．在基本題型中，大量的是整式中直 接使用的均值不等式，這容易形成思維定式．本題中是利用條件將所求證的式子化成分式后再使用均值不等式．要注意靈活運用均值不等式． （ 2） ∵ yx aa ? ≥ 81)21x(212xxyx 22 a2a2a2 ????? ?? ， 81)21x(21 2 ??? ≤81 ， 0a1 ∴ 81)21x(21 2a2 ??? ≥ 81a2 ∴ yx aa ? ≥ 81a2 ∴ )aa(log yxa ? ≤ 812log)a2(loga81a ?? 第 2 課 一元二次不等式 【考點 導讀 】 1. 會解一元二次不等式，了解一元二次不等式與相應函數、方程之間的聯系和轉化。 2. 能運用一元二次不等式解決綜合性較強的問題 . 【基礎 練習 】 ： （ 1） 23 4 4 0xx? ? ? ? （ 2） 213022xx? ? ? （ 3） ? ?? ? 21 3 2 2x x x x? ? ? ? ? （ 4） 223214 2 ??????? xx 解：（ 1）原不等式化為 23 4 4 0xx? ? ? ，解集為 2 23 x? ? ? （ 2）原不等式化為 2 2 3 0xx? ? ? ，解集為 R （ 3）原不等式化為 2 10xx? ? ? ，解集為 ? （ 4） 由2 222213 42 1 013 222 4 , ,1322 2 5 0222xx xxxx xxxx? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ???? ? ? ???得 得 得 2 1 2 1 ,6 1 6 1xxx? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???或 ( 6 1 , 2 1 ) ( 2 1 , 6 1 )x? ? ? ? ? ? ? ? 點撥：解一元二次不等式要注意二次項系數的符號、對應方程 ? 的判斷、以及對應方程兩根大小的比較 . 2. 函數 )1(log 221 ?? xy的定義域為 ? ?2 , 1 1, 2?????? 3..二次函數 y=ax2+bx+c(x∈ R)的部分對應值如下表： 則不等式 ax2+bx+c0 的解集是 ),3()2,( ????? ? 02 ??? cbxx 的解集是 }13{ ??? xxx 或 ，則 b=__2____ c=__3____. 【 范例導析 】 例 .解關于ｘ的不等式 )1(12 )1( ???? axxa 分析： 本題可以轉化為含參的一元二次不等式，要注意分類討論 . 解 :原不等式等價于 02 )2()1( ?? ??? x axa ∵ 1?a ∴等價于： ? ?02 121?? ??????????xaaxa （ *） a１ 時，（ *）式等價于 212????xaax0∵ 11112 ????? aaa １∴ x 12??aa 或 x２ x 3 2 1 0 1 2 3 4 y 6 0 4 6 6 4 0 6 a１時，（ *）式等價于 212????xaax0由２－ 12??aa ＝ 1?aa 知：