高中數學_二次函數的應用(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 a＜ 0，解得 OD＝ 3 2，解得拋物線的解析式為 y＝ － 13x2＋ 2x …………………………7′ 綜上， ⊙ D 的半徑為 3 2，拋物線的解析式為 y＝ 13x2－ 2x 或 y＝ － 13x2＋ 2x ……………… 8′ (3)拋物線在 x軸上方的部分存在點 P，使 ∠ PDA＝ 23 OBA? ，設點 P 的坐標為 (x， y)，且 y＞ 0． ①當點 P 在拋物線 y＝ 13x2－ 2x 上時， P(6＋ 3， 2 3＋ 1)；……………………………… 10′ ②當點 P 在拋物線 y＝ － 13x2＋ 2x 上時， P(6－ 3， 2 3－ 1) … …………………………… 11′ 綜上，存在滿足條件的點 P，點 P 的坐標為 (6＋ 3， 2 3＋ 1)或 (6－ 3， 2 3－ 1) ………12′ 15．（本 小 題滿分 12分） 為保證交通安全，汽車駕駛員必須知道汽車剎車后的停止距離（開始剎車到車輛停止車輛行駛的距離）與汽車行駛速度（開始剎車時的速度）的關系，以便及時剎車．下表是某款汽車在平坦道路上路況良好時剎車后的停止距離與汽車行駛速度的對應值表： 行駛速度（千米／時） 40 60 80 … [ 停止距離（米） 16 30[ 48 … （ 1）設汽車剎車后的停止距離 y（米）是關于汽車行駛速度 x（千米／時）的函數，給出以下三個函數： ① y=ax+b； ② 0）（kxky ??； ③ y=ax2+bx，請選擇恰當的函數來描述停止距離 y（米）與汽車行駛速度 x（千米／時）的關系，說明選擇理由，并求出符合要求的函數的解析式； （ 2）根據你所選擇的函數解析式，若汽車剎車后的停止距離為 70米，求汽車行駛速度． 答案： 解： （ 1）若選擇 y=ax+b，把 x=40， y=16與 x=60， y=30分別代入得??? ?? ?? b60a30 b40a16 解得??? ??? 12b 把 x=80代入 y= x12得 y=44＜ 48，∴選擇 y=ax+b不恰當 ；若選擇0）（kxky ?? ，由 x， y對應值表看出 y隨 x的 增大而增大，而 0）（kxky ?? 在第一象 限 y隨 x的增大而減小，所以不恰當；若 選擇 y=ax2+bx， 把 x=40， y=16與 x=60， y=30分別代入得??? ?? ?? 60b3600a30 40b1600a16，解得??? ?? ， 而把 x=80代入 y=+ y=48成立，∴選擇 y=ax2+bx恰當， 解析式為 y=+．（ 2）把 y=70代入 y=+70=+，即 x2+40x14000=0，解得 x=100或 x=140（舍去），∴當停止距離為 70米，汽車行駛速度為 100千 米／時 ． 15 16．（本小題滿分 12分） 如圖，在平面直角坐 標系中，直角梯形 ABCO的邊 OC落在 x軸的正半軸上，且 AB∥ OC， BC⊥ OC， AB=4， BC=6， OC=8．正方形 ODEF的兩邊分別落在坐標軸上，且它的面積等于直角梯形 ABCO的面積． 將 正方形 ODEF沿 x軸的正半軸平行移動，設 它 與 直角梯形 ABCO的重疊部分面積為 S． （ 1） 求正方形 ODEF的邊長； （ 2）① 正方形 ODEF平行移動過程中，通過操作、觀察，試判斷 S（ S＞ 0）的變化情況是 ； A．逐漸增大 B．逐漸減小 C．先增大后減小 D．先減小后增大 ②當正方形 ODEF頂點 O移動到點 C時， 求 S的值； （ 3）設 正方形 ODEF的頂點 O向右移動的距離為 x，求重疊部分面積 S與 x的函數關系式 ． 答案： 解：（ 1） ∵ SODEF=SABCO=21（ 4+8） 6=36 36SS ABCOODEF ??? 設正方形的邊長為 x， ∴ x2=36， x=6 或 x=6（舍去）． （ 2） ① C． ② S=21（ 3+6） 2+6 4=33．（ 3） ① 當 0≤ x＜ 4 時， 重疊部分為三角形，如圖 ① ． 可得 △ OM O? ∽△ OAN， ∴4x6OM ??，x23OM ?? ． ∴ 2x43xx2321S ???? ． ② 當 4≤ x＜ 6時，重疊部分為直角梯形，如圖 ② ． S=（ x4+x） 621=6x12 ③ 當 6≤ x＜ 8時， 重疊部分為五邊形，如圖 ③ ．可得， MD=23（ x6） ， AF=x4． S=21（ x4+x） 2123（ x6）（ x6 ） =43x2+15x39 ． ④ 當 8 ≤ x ＜ 10 時 ， 重 疊 部 分 為 五 邊 形 ， 如 圖④ ． S= COBFDMOAF SS ?? ? =43x2+15x39（ x8） 6=43x2+9x+9． ⑤ 當 10≤ x＜ 14 時，重疊部分為矩形，如圖 ⑤ ． S=［ 6（ x8） ］ 6=6x+84． （ 用其它方法求解正確，相應給分 ） ． A y x B C O D E F y （備用圖） A x B C O x A B C O y D E F O? （ 圖⑤ ） A O x B C y D E F O? M （圖④） A B C O x y D E F O? M N （圖①） A B C O x y D E F O? （圖②） A B C O x y D E F O? M （ 圖③ ） 16 B 組 1． 研究所對某種新型產品的產銷情況進行了研究，為投資商在甲、乙兩地生產并銷售該產品提供了如下成果：第一年的年產量為 x （噸）時，所需的全部費用 y （萬元）與 x 滿足關系式 21 5 9010y x x? ? ?，投入市場后當年能全部售出，且在甲、乙兩地每噸的售價 p甲 ，p乙 （萬元）均與 x 滿足一次函數關系．（注：年利潤＝年銷售額－全部費用） （ 1）成果表明，在甲地生產并銷售 x 噸時， 1 1420px? ? ?甲，請你用含 x 的代數式表示甲地當年 的年銷售額，并求年利潤 w甲 （萬元）與 x 之間的函數關系式； （ 2）成果表明，在乙地生產并銷售 x 噸時， 110p x n?? ?乙（ n 為常數），且在乙地當年的最大年利潤為 35萬元．試確定 n 的值； {出自 :中國 .學考 .頻道 ..COM} （ 3）受資金、生產能力等多種因素的影響，某投資商計劃第一年生產并銷售該產品 18噸，根據（ 1），（ 2）中的結果，請你通過計算幫他決策，選擇在甲地還是乙地產銷才能獲得較大的年利潤？ 答案： 解：（ 1）甲地當年的年銷售額為 21 1420 xx????????萬元； 23 9 9 020w x x? ? ? ?甲 ． （ 2）在乙地區生產并銷售時， 年利潤 2 2 21 1 15 9 0 ( 5 ) 9 01 0 1 0 5w x n x x x x n x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????乙． 由214 ( 90 ) ( 5 )5 35145n??? ? ? ? ? ??????????????，解得 15n? 或 5? ． 經檢驗， 5n?? 不合題意，舍去， 15n?? ． （ 3）在乙地區生產并銷售時，年利潤 21 1 0 9 05w x x? ? ? ?乙， 將 18x? 代入上式，得 ?乙 （萬元）；將 18x? 代入 23 9 9 020w x x? ? ? ?甲， 17 得 ?甲 （萬元）． ww?乙 甲 ， ?應選乙地． 2． 某市政府大力扶持大學生創業．李明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件 20元的護眼臺燈．銷售過程中發現，每月銷售量 y（件）與銷售單價 x（元）之間的關系可近似的看作一次函數： 10 500yx?? ? ． （ 1）設李明每月獲得利潤為 w（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？ （ 2）如果李明想要每月獲得 2020元的利潤，那么銷售單價應定為多少元？ （ 3）根據物價部門規定，這種護眼臺燈的銷售單價不得高于 32元，如果李明想要每月獲得的利潤不低于 2020元，那么他每月的成本最少需要多少元？ （成本＝進價 銷售量） 答案： 解：（ 1）由題意，得： w = (x－ 20) y =(x－ 20)( 10 500x??) 21 0 7 0 0 1 0 0 0 0xx? ? ? ? 352bx a?? ? . 答：當銷售單價定為 35元時，每月可獲得最大利潤． （ 2）由題意，得： 21 0 7 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0xx? ? ? ? 解這個方程得： x1 = 30， x2 = 40． 答：李明想要每月獲得 2020元的利潤，銷售單價應定為 30元或 40元 . （ 3）法一： ∵ 10a?? ?? ， ∴ 拋物線開口向下 . ∴ 當 30≤ x≤40 時， w≥2020 ． ∵ x≤32 ， ∴ 當 30≤ x≤32 時， w≥2020 ． 設成本為 P（元），由題意，得： 20( 10 500)Px? ? ? 200 10000x?? ? ∵ 200k?? ?? ， 法二： ∵ 10a?? ?? ， ∴ 拋物線開口向下 . ∴ 當 30≤ x≤ 40 時， w≥ 2020． ∵ x≤ 32， ∴ 30≤ x≤ 32 時， w≥ 2020． ∵ 10 500yx?? ? ， 10 0k?? ? ， ∴ y 隨 x 的增大而減小 . ∴ 當 x = 32 時， y 最小 ＝ 180. ∵ 當進價一定時，銷售量越小， 成本越小， ∴ 20 180 3600?? （元） . 18 ∴ P隨 x的增大而減小 . ∴ 當 x = 32時， P 最小 ＝ 3600. 答：想要每月獲得的利潤不低于 2020元，每月的成本最少為 3600元． 3． 已知關于 x 的二次函數 22 12my x m x ?? ? ? 與 22 22my x m x ?? ? ? ，這兩個二次函數圖象中只有一個圖象與 x 軸交于 ,AB兩個不同的點． （ l）試判斷哪個二次函數的圖象經過 ,AB兩點； （ 2）若 A 點坐標為 ( 1,0)? ，試求 B 點 坐標 . 答案：（ l）圖象經過 A、 B兩點的二次函數為 22 2 ,2my x mx ?? ? ? ∵ 對 于 關 于 x 的 二 次 函 數 22 1 ,2my x mx ?? ? ? 而2221( ) 4 1 ( ) 2 0 ,2mmm?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以函數 22 1 ,2my x mx ?? ? ? 的圖象與 x 軸沒有交點 ∵ 對于二次函數 22 2 ,2my x mx ?? ? ? 而 2222( ) 4 1 ( ) 3 4 0 ,2mmm?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以函數 22 2 ,2my x mx ?? ? ? 的圖象與 x 軸有兩個不同的交點 . （ 2） )將 A(1,0)代入 22 22my x m x ?? ? ? ，得 2 21 2mm ??? =0. 整理，得 2 122 0 , 0 , 2m m m m? ? ? ?得 當 1 0m? 時， 2 1yx?? ，令 120 , 1, 1y x x? ? ? ?得 此時， B點的坐標是 B (l, 0)． 當 2 2m? 時， 2 23y x x? ? ? ，令 120 , 1, 3y x x? ? ? ?得 19 此時， B點的坐標是 B（ 3， 0） . 4． 已知：拋物線 C1： 221( 2 ) 22y x m x m? ? ? ? ?與 C2： 2 2y x mx n? ? ? 具有下列特征：① 都與 x軸 有 交 點 ； ② 與 y軸相交于同一點． （ 1） 求 m， n的值； （ 2） 試寫出 x為何值時， y1 ＞ y2？ （ 3） 試描述拋物線 C1通過怎樣的變換得到拋物線