數學模型微分方程模型(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 Hq??q(x,t) ~ 毒物流量 w(x,t) ~ 毒物密度 1) 求 q(x,0)=q(x) 福 州 大 學 41 ??????????????lxleeaHlxeaHxqvlxvblvbx1)(010,0,)(11 ?),()( tutuwtH ?????????????????lxleetaHlxutetaHtxqvlxvutlbvutxb1)()(1)(,)(,)(),(11 ?vlvutlbeetuta u wtlq 21)(),(),(?????t時刻，香煙燃至 x=ut 1) 求 q(x,0)=q(x) 2) 求 q(l,t) 福 州 大 學 42 tv txqbtxwttxw ????? ),(),(),(???????????0)()0,(),(wxwetuta u wvbtwvutxbaaaeawtutw vbuta????????? ????1,1),(39。03) 求 w(ut,t) 福 州 大 學 43 ???????????????vabutvbutvlvblaeeeeaa u wtlq 210),( ???????????????? vblavluleebavawdttlqQ 121 39。/00 1),(?vlvutlb eetuta u wtlq 21 )(),(),( ??????????? ??? ? vbutaaeawtutw39。0 1),(rervblar r????? 1)(,1 ?),(2 ra M eQvl????4) 計算 Q 福 州 大 學 44 11 ???? vblar結果分析 ),(2 ra M eQ vl ???? r ervblarr???? 1)(,39。 1 ?2/1)( rr ?????????? ??? ?vblaa M eQ vl21 12??煙草 為什么有作用 ? 1） Q與 a,M成正比， aM是毒物集中在 x=l 處的吸入量 2) ~過濾嘴因素， ?, l2 ~ 負指數 作用 vle 2??vla M e 2?? 是毒物集中在 x=l1 處的吸入量 3） ?(r)~ 煙草的吸收作用 b, l1~ 線性 作用 福 州 大 學 45 ?????? ????vblavbleebavawQ 12 39。02 139。vlbe 2)(21?????????? ????? vblavl eebavawQ 12 39。01 1?帶過濾嘴 不帶過濾嘴 21 b ????結果分析 4) 與另一支不帶過濾嘴的香煙比較， w0, b, a, v, l 均相同，吸至 x=l1扔掉 提高 ?b 與加長 l2，效果相同 福 州 大 學 46 人口預測和控制 )(),(,0),0( tNtrFtF m ??rFtrp???),(? 年齡分布對于人口預測的重要性 ? 只考慮自然出生與死亡，不計遷移 人口發展方程 的人口）年齡人口分布函數 rtrF ?(~),(人口密度函數~),( trp 人口總數~)( tN最高年齡~)( ??mr福 州 大 學 47 ),(),( trptrtprp ????????11,),(),()],(),([)],(),([drdtdttrptrtrpdttrpdttrpdttdrrp???????????人口發展方程 死亡率~),( tr?drtrp ),(人數年齡],[,drrrt? 死亡人數內),( dttt ?人數年齡],[,11drdrrdrrdtt????1drdt ?一階偏微分方程 dr d ttrptr ),(),(?? drdttdrrp ),( 1 ???福 州 大 學 48 ??????????????????0),(),0(0),()0,(),(),(0ttftprrprptrptrtprp?人口發展方程 ~已知函數（人口調查） ~生育率（控制人口手段） 0 t r )(0 rprt?)(tfrt?rt?)(),( rtr ?? ?????????????????rtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(0???? r dstsptrF 0 ),(),(?? mr dstsptN 0 ),()(福 州 大 學 49 ?? 21 ),(),(),()( rr drtrptrktrbtf),()(),( trhttrb ??? ?21 1),(rr drtrh?? 21 ),()( rr drtrbt?生育率的分解 性別比函數女性 )(~),( trk生育數女性 )(~),( trb 育齡區間~],[ 21 rr?? 21 ),(),(),()()( rr drtrptrktrhttf ??~總和生育率 h~生育模式 )(),( rhtrh ?0 1r 2r r福 州 大 學 50 ????????????????rtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(0???? 21 ),(),(),()()( rr drtrptrktrhttf ?人口發展方程和生育率 )(t? ~總和生育率 ——控制生育的多少 ),( trh ~生育模式 ——控制生育的早晚和疏密 ),(),( trptrtprp ????????)(tf)(0 rp),( trp)(t?? 正反饋系統 ? 滯后作用很大 福 州 大 學 51 ?? mr drtrrptNtR 0 ),()(1)(? ? ? ??? t drtr detSt?? ?0),()()(/)()( tStRt ???? mr drtrptN 0 ),()(人口指數 1）人口總數 2）平均年齡 3）平均壽命 t時刻出生的人，死亡率按 ?(r,t) 計算的平均存活時間 4）老齡化指數 控制生育率 控制 N(t)不過大 控制 ?(t)不過高 福 州 大 學 52 煙霧的擴散與消失 現象和 問題 炮彈在空中爆炸，煙霧向四周擴散，形成圓形不透光區域。 不透光區域不斷擴大，然后區域邊界逐漸明亮，區域縮小，最后煙霧消失。 建立模型描述煙霧擴散和消失過程，分析消失時間與各因素的關系。 問題分析 無窮空間由瞬時點源導致的擴散過程，用二階偏微分方程描述煙霧濃度的變化。 觀察的煙霧消失與煙霧對光線的吸收，以及儀器對明暗的靈敏程度有關。 福 州 大 學 53 gr a dCkq ????模型假設 1）煙霧在無窮空間擴散，不受大地和風的影響；擴散服從熱傳導定律。 2）光線穿過煙霧時光強的減少與煙霧濃度成正比；無煙霧的大氣不影響光強。 3）穿過煙霧進入儀器的光線只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定。 模型建立 1）煙霧濃度 的變化規律 ),( tzyxC熱傳導定律：單位時間通過單位法向面積的流量與濃度梯度成正比 福 州 大 學 54 21 ?????????????????????222222)]([zCyCxCkg r a d Cd i vktC??? ????VdVttzyxCtzyxCQ )],(),([2? ???? ?? tttsdtdnqQ ???1 ?VSn?1Qq?流量通過 ??? ],[ ttt內煙霧改變量??? ?????s VdVqd i vdnq ??? ?曲面積分的奧氏公式 gr a dCkq ????1）煙霧濃度 的變化規律 ),( tzyxC福 州 大 學 55 ktzyxektQtzyxC 423222)4(),(?????),()0,( zyxQzyxC ??0,222222????????????????????????? tzyxzCyCxCktC 初始條件 Q~炮彈釋放的煙霧總量 ? ~單位強度的點源函數 ? 對任意 t, C的等值面是球面 x2+y2+z2=R2。 R??C? ? 僅當 t??, 對任意點 (x,y,z), C?0 1）煙霧濃度 的變化規律 ),( tzyxC福 州 大 學 56 00 )( IlI ?)()( lIlCdldI ???2）穿過煙霧光強的變化規律 光強的減少與煙霧濃度成正比 方向的煙霧濃度沿方向的光強沿llCllI~)(~)(00 )( Ill 的光強為未進入煙霧 ???? ll dssCeIlI 0 )(0)(?福 州 大 學 57 ?? ??????? 1),( dztzyxCe觀測結果為暗儀器靈敏度，當 ,1/~ 0 ?? ??II3）儀器靈敏度與煙霧明暗界限 煙霧濃度連續變化 煙霧中光強連續變化 ??? ll dssCeIlI 0 )(0)(?儀器 z ? ? 設光源在 z=?, 儀器在 z=?,則觀測到的 明暗界限為 不透光區域有擴大、縮小、消失的過程 穿過煙霧進入儀器的光線只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定。 ~不透光區域邊界 福 州 大 學 58 tkQkttr???4ln4)( ???? ???ktyxektQ 4224? ??? ? ? adxe ax ?24）不透光區域邊界的變化規律 ?? ??????? 1),( dztzyxCektzyxektQtzyxC 423222)4(),(?????很小）??? (??? ?????? 11ln1),( dztzyxCktyxektQdztzyxC 4224),(?????? ? ?222 ryx ??對任意 t, 不透光區域邊界是圓周 不透光區域邊界半徑 福 州 大 學 59 )(41最大值，eQrrekQttm ?????? ????0,42 ??? rkQtt ???r(t) rm 0 t1 t2 t tkQkttr???4ln4)( ?結果分析 112 tett ??? ?觀測到不透光區域邊界達到最大的時刻 t1，可以預報煙霧消失的時刻 t2 ?????? mrtQ , 1?? ??? tk福 州 大 學 60 萬有引力定律的發現 背景 航海業發展 天文觀測精確 “地心說”動搖 哥白尼：“日心說” 伽里略：落體運動 開普勒：行星運動三定律 變速運動的計算方法 牛頓：一切運動有力學原因 牛頓運動三定律 牛頓：研究變速運動，發明微積分（流數法） 開普勒三定律 牛頓運動第二定律 萬有引力定律 《 自然科學之數學原理 》