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第二章實數理論(編輯修改稿)

2025-10-07 08:46 本頁面

　

【文章內容簡介】 ?A, xb0+… bh}?? – ?h=1,…, k 1, bh+1是 Ah的上確界并且 ?x?A滿足x(n)=bn, ?n=0,…,h ? 若 b0+… bk是 A的上界 ,令 b=b0+… 到了上確界 ,否則考慮整數集 Ak={x(k+1)|x?A, xb0 +… bk}?? 其有上界 9, 設 bk+1為 Ak的上確界 ,則 ?x?A滿足x(h)=bh, ?h=1,…, k+1. 由歸納法就得到 25 實數的完備性 (III) ? 3. 下列兩種可能性之一必成立 : (1) A有有限小數上確界 b=b0+… bn。 (2) 得到 b: N?Z, b(0) =b0?Z, ?k0, b(k)=bk?{0,…,9}, 有無限多個 bk ?0, 滿足 – ?x?A, x(0)?b0, ?x?A滿足 x(0)=b0。 – ?h?N, Ah={x(h+1)| x?A, xb0+… bh}?? – ?h ?N, bh+1是 Ah的上確界并且 ?x?A滿足 x(n)=bn, ?n=0,…,h 下面證明 , 由 b可以構造出 A的上確界 . 26 實數的完備性 (IV) ? 4. 考慮兩種情形 : (1) 存在 k0, ?n?k, bk= 9, 如果 k1, bk1 9。 (2) 有無限多個 bk ?9. 下面分別討論這兩種情況 : ? 5. 假設 (1)成立 . 若 k=1, 令 b= b0+1 (為整數 )。若k1, 取 b= b0+… bk1+k=1時的證明 , k1情形的證明留作習題 . ? 由 ?x?A, x(0)?b0b=b(0)可得 b是 A的上界 . ? 下面證明 b是 A的上確界 , 任取 c?R, cb, 如果c(0)b0, 由 b0的定義 , ?x?R有 x(0)=b0c(0),則xc. 如果 c(0)=b0, 由 ?m0, c(m)9. 由 b的定義 , ?x?R,x(0)= b0,?j=1,…,m, x(j)=9, 則 xc. 因此 b是 A的上確界 . 27 實數的完備性 (V) ? 6. 假設 (2)成立 , 則 b?R. 令 b=b. 首先說明 b是上界 . 用反證法 , 若 b不是 A的上界 ,則 ?x?A, xb, 這就存在 k?0, ?jk, x(j)=b(j)= bj, x(k)b(k)=bk,這與 bk的取法矛盾 . ? 證明 b是 A的上確界 : 任取 c?R, cb,則存在 ?k?0, ?jk, c(j)=b(j)=bj, c(k)b(k)=bk,由 bk的取法 , ?x? A滿足 ?j?k, x(j)=b(j)=bj, 由實數序的定義 , xc. 這就得到 b是 A的上確界 . ? 這樣實數的完備性就建立了 . 28 實數完備性的推論 ? 實數集的下界和下確界 : –設 A?R, A??, 若 ?b?R使得 ?a?A, a?b, 就稱 b為 A的一個下界 , 并且說 A是下有界的 –設 b?R是 A?R的下界 , 如果 ?cb, ?a?A, ac, 就稱 b為 A的下確界 ? 推論 1. R的非空有下界的子集必有下確界 . ? 推論 2. R的非空子集的上確界和下確界是惟一的 (即至多只有一個 ). ? 上述兩個推論的證明留作習題 . 29 常用記號和名詞 ? 集合 A的上 ,下確界分別記為 sup A和 inf A, 有時也分別叫作 A的最小上界和最大下界 ? 如果 sup A?A, 稱 sup A為 A的最大數 , 記 sup A為 max A。類似地 , 當 inf A?A時 , 稱之為 A的最小數 , 記為 min A. ? 當集合 A沒有上界時 , 記 sup A=+? (或 ?), 也說A的上確界是正無窮。類似地 , 若集合 A無下界 , 記 inf A=?,說 A的下確界是負無窮 ? 如果 A上下都有界 , 就說 A是有界的 . 否則就說A無界 . 30 上確界的簡單性質 ? 設 A, B是 R的非空子集 . 則 ? 1. 若 A?B, 則 sup A ? sup B。 ? 2. 若 ?x?A, ?y?B滿足 x?y,則 sup A ? sup B。特別若 A={xa | a?I}和 B={ya | a?I}滿足 xa?ya,則sup A ? sup B。 ? 3. ?x?R, x=sup{sn(x) | n?N}. 31 167。 7 實數的運算性質 ? 加法定義 ? 負元和減法 ? 實數的符號和絕對值 ? 乘法定義 ? 倒數和除法 32 加法定義 ? 定義 : 設 x,y?R. 定義 x與 y的和為 x+y=sup{sn(x)+sn(y) | n?N} ? 這個定義是有意義的 : 集合 {sn(x)+sn(y) | n?N} ??, 且有上界 [x]+[y]+2. ? 當 x,y?Q為有限小數時 , 上述加法與有理數的加法一致 . 33 負元和減法 ? 負元

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