高中數學常用公式及常用結論大全[五篇](編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 歸還本息的借款種類）若貸款（向銀行借款） p元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去，第 n 次還清。如果每期利率為 r（按復利），那么每期應還 x 元，滿足 p—— 貸款數， r—— 利 率， n—— 還款期數 排列、組合問題的依據是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合。 （ 2）排列：從 n 個不同元素中，任取 m（ m≤ n）個元素，按照一定的順序排成一（ 3）組合：從 n 個不同元素中任取 m（ m≤ n）個元素并組成一組，叫做從 n個不 ： 相鄰問題捆綁法； 相間隔問題插空法； 定位問題優先法； 多元問題分類法； 至多至少問題間接法； 相同元素分組可采用隔板法，數量不大時可以逐一排出結果。 如：學號為 1， 2， 3， 4 的四名學生的考試成績則這四位同學考試成績的所有可能情況是（） 解析：可分成兩類： （ 2）中間兩個分數相等相同兩數分別取 90， 91， 92，對應的排列可以數出來，分別有 3， 4， 3種，∴有 10種。 ∴共有 5＋ 10＝ 15（種）情況 ： （ 3）最值： n 為偶數時， n＋ 1 為奇數，中間一項的二項式系數最大且為第表示） ？的和（并）。 （ 5）互斥事件（互不相容事件）：“ A與 B 不能同時發生”叫做 A、B 互斥。 （ 6）對立事件（互逆事件）： （ 7）獨立事件： A 發生與否對 B 發生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件。 ： 分清所求的是：（ 1）等可能事件的概率（常采用排列組合的方法，即（ 5）如果在一次試驗中 A 發生的概率是 p，那么在 n 次獨立重復試驗中 A 恰好發生如：設 10件產品中有 4 件次品， 6件正品，求下列事件的概率。 （ 1）從中任取 2件都是次品； （ 2）從中任取 5件恰有 2件次品； （ 3）從中有放回地任取 3件至少有 2件次品； 解析：有放回地抽取 3 次（每次抽 1 件），∴ n＝ 103 而至少有 2件次品為“恰有 2 次品”和“三件都是次品”（ 4）從中依次取 5 件恰有 2 件次品。 解析：∵一件一件抽取（有順序）分清（ 1）、（ 2）是組合問題，（ 3）是可重復排列問題，（ 4）是無重復排列問題。 ：簡單隨機抽樣（抽簽法、隨機數表法）常常用于總體個數較少時，它的特征是從總體中逐個抽取； 系統抽樣，常用于總體個數較多時，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一個； 分層抽樣，主要特征是分層按比例抽樣，主要用于 總體中有明顯差異，它們的共同特征是每個個體被抽到的概率相等，體現了抽樣的客觀性和平等性。 —— 用樣本的頻率作為總體的概率，用樣本的期望（平均值）和方差去估計總體的期望和方差。 要熟悉樣本頻率直方圖的作法： （ 2）決定組距和組數； （ 3）決定分點； （ 4）列頻率分布表； （ 5）畫頻率直方圖。 如：從 10 名女生與 5名男生中選 6名學生參加比賽，如果按性別分層隨機抽樣，則組成此參賽隊的概率為 ____________。 量的有關概念清楚嗎？（ 1）向量 —— 既有大小又有方向的量。 在此規定下向量可以在平面（或空間）平行移動而不改變。 （ 6）并線向量（平行向量） —— 方向相同或相反的向量。 規定零向量與任意向量平行。 （ 7）向量的加、減法如圖： （ 8）平面向量基本定理（向量的分解定理）的一組基底。 （ 9）向量的坐標表示表示。 ： （ 2）數量積的運算法則［練習］答案： 答案： 2 答案： ※ .你能分清三角形的重心、垂心、外心、內心及其性質嗎？ 、垂直關系證明的思路清楚嗎？平行垂直的證明主要利用線面關系的轉化： 線面平行的判定： 線面平行的性質： 三垂線定理（及逆定理）： 線面垂直： 面面垂直： （ 1）異面直線所成的角θ， 0176。＜θ≤ 90176。（ 2）直線與平面所成的角θ， 0176。≤θ≤ 90176。（三垂線定理法： A∈α作或證 AB⊥β于 B，作 BO⊥棱于 O，連 AO，則 AO⊥棱 l，∴∠ AOB 為所求。 ）三類角的求法： ①找出或作出有關的角。 ②證明其符合定義，并指出所求作的角。 ③計算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。 ［練習］（ 1）如圖， OA 為α的斜線 OB 為其在α內射影， OC 為α內過 O 點任一直線。 （ 2）如圖，正四棱柱 ABCD— A1B1C1D1 中對角線 BD1＝ 8， BD1 與側面 B1BCC1所成的為 30176。 ①求 BD1和底面 ABCD所成的角； ②求異面直線 BD1和 AD 所成的角； ③求二面角 C1— BD1— B1的大小。 （ 3）如圖 ABCD為菱形，∠ DAB＝ 60176。， PD⊥面 ABCD，且 PD＝ AD，求面 PAB 與面 PCD 所成的銳二面角的大小。 （∵ AB∥ DC， P為面 PAB 與面 PCD 的公共點，作 PF∥ AB，則 PF 為面 PCD 與面 PAB的交線??） ？如何求距離？點與點，點與線，點與面，線與線，線與面，面與面間距離。 將空間距離轉化為兩點的距離，構造三角形，解三角形求線段的長（如：三垂線定理法，或者用等積轉化法）。 如：正方形 ABCD— A1B1C1D1中，棱長為 a，則： （ 1）點 C到面 AB1C1的距離 為 ___________； （ 2）點 B到面 ACB1的距離為 ____________； （ 3）直線 A1D1到面 AB1C1的距離為 ____________； （ 4）面 AB1C與面 A1DC1的距離為 ____________； （ 5）點 B到直線 A1C1的距離為 _____________。 、正棱錐的定義并掌握它們的性質？正棱柱 —— 底面為正多邊形的直棱柱正棱錐 —— 底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面的中心。 正棱錐的計算集中在四個直角三角形中： 它們各包含哪些元素？ ？（ 2）球面上兩點的距離是經過這兩點的大圓的劣弧長。為此，要找球心角！（ 3）如圖，θ為緯度角，它是線面成角； α為經度角，它是面面成角。 （ 5）球內接長方體的對角線是球的直徑。正四面體的外接球半徑R 與內切球半徑 r之比為 R： r＝ 3： 1。 積為（）答案： ？（ 2）直線方程： 、垂直？ l 與圓 C 的位置關系？圓心到直線的距離與圓的半 徑比較。 直線與圓相交時，注意利用圓的“垂徑定理”。 ？ 70.在圓錐曲線與直線聯立求解時，消元后得到的方程，要注意其二次項系數是否為零？△≥ 0 的限制。（求交點，弦長，中點，斜率，對稱存在性問題都在△≥ 0 下進行。） ？如： 通徑是拋物線的所有焦點弦中最短者； 以焦點弦為直徑的圓與準線相切。 “代點法”。 答案： “對稱”問題 ？（ 1）證明曲線 C： F（ x， y）＝ 0 關于點 M（ a， b）成中心對稱，設 A（ x， y）為曲線 C 上任意一點，設 A＇（ x＇， y＇）為 A關于點 M的對稱點。 ？注意討論范圍。 （直接法、定義法、轉移法、參數法） ：作出可行域，作出以目標函數為截距的直線，在可行域內平移直線，求出目標函數的最值高中數學知識易錯點梳理一、集合、簡易邏輯、函數1．研究集合必須注意集合元素的特征即三性 (確定 ,互異 ,無序 )。已知集合 A={x,xy,lgxy},集合 B={0,｜ x｜ ,y},且 A=B,則 x+y=2．研究集合 ,首先必須弄清代表元素 ,才能理解集合的意義。已知集合 M={y｜ y=x2,x∈ R},N={y｜ y=x2+1,x∈ R},求 M∩ N； 與集合 M={（ x,y）｜ y=x2,x∈ R},N={(x,y)｜ y=x2+1,x∈ R}求 M∩ N 的區別。 3．集合 A、 B，時，你是否注意到“極端”情況：或； 求集合的子集時是否忘記 .例如：對一切恒成立，求 a的取植范圍，你討論了 a＝ 2 的情況了嗎？ 4．對于含有 n 個元素的有限集合 M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數依次為如滿足條件的集合 M共有多少個 5．解集合問題的基本工具是韋恩圖 。某文藝小組共有 10 名成員 ,每人至少會唱歌和跳舞中的一項 ,其中 7人會唱歌跳舞 5人會 ,現從中選出會唱歌和會跳舞的各一人，表演一個唱歌和一個跳舞節目 ,問有多少種不同的選法？ 6．兩集合之間的關系。 7． (CUA)∩ (CUB)=CU(A∪ B)(CUA)∪ (CUB)=CU(A∩ B)； ； 可以判斷真假的語句叫做命題 .邏輯連接詞有“或”、“且”和“非” .p、 q 形式的復合命題的真值表 :pqP 且 qP 或 q 真真真真真假假真假真假真假假假假 命題的四種形式及其相互關系原命題若 p 則 q逆命題若 q 則 p 否命題若﹃ｐ則﹃ q 逆否命題若﹃ｑ則﹃ｐ互 逆互 互互 為互否 逆 逆否否 否否否 否互 逆 原命題與逆否命題同真同假； 逆命題與否命題同真同 假 .你對映射的概念了解了嗎？映射 f：A→ B 中， A 中元素的任意性和 B 中與它對應元素的唯一性，哪幾種對應能夠成映射？ 1函數的幾個重要性質： ①如果函數對于一切，都有或 f（ 2ax） =f（ x），那么函數的圖象關于直線對稱 .②函數與函數的圖象關于直線對稱； 函數與函數的圖象關于直線對稱； 函數與函數的圖象關于坐標原點對稱 .③若奇函數在區間上是遞增函數，則在區間上也是遞增函數．④若偶函數在區間上是遞增函數，則在區間上是遞減函數．⑤函數的圖象是把函數的圖象沿 x 軸向左平移 a 個單位得到的； 函數 (的圖象是把函數的圖象沿 x軸向右平移個單位得到的； 函數 +a 的圖象是把函數助圖象沿 y 軸向上平移 a 個單位得到的 。函數 +a 的圖象是把函數助圖象沿 y軸向下平移個單位得到的 .1求一個函數的解析式和一個函數的反函數時，你標注了該函數的定義域了嗎？ 1求函數的定義域的常見類型記住了嗎？函數 y=的定義域是； 復合函數的定義域弄清了嗎？函數的定義域是 [0,1],求的定義域 .函數的定義域是 [],求函數的定義域 1含參的二次函數的值域、最值要記得討論。若函數 y=asin2x+2cosxa2(a∈ R)的最小值為 m,求 m 的表達 1函數與其反函數之間的一個有用的結論：設函數 y=f(x)的定義域為 A,值域為 C,則①若 a∈ A,則 a=f1[f(a)]。若 b∈ C,則b=f[f1(b)]。②若 p∈ C,求 f1(p)就是令 p=f(x),求 x.(x∈ A)即互為反函數的兩個函數的圖象關于直線 y=x 對稱 ,1互為反函數 的兩個函數具有相同的單調性 。原函數在區間上單調遞增，則一定存在反函數，且反函數也單調遞增； 但一個函數存在反函數，此函數不一定單調． 1判斷一個函數的奇偶性時，你注意到函數的定義域是否關于原點對稱這個必要非充分條件了嗎？在公共定義域內 :兩個奇函數的乘積是偶函數 。兩個偶函數的乘積是偶函數 。一個奇函數與一個偶函數的乘積是奇函數 。1根據定義證明函數的單調性時，規范格式是什么？ (取值 ,作差 ,判正負 .)可別忘了導數也是判定函數單調性的一種重要方法。 1你知道函數的單調區間嗎？（該函數在和上單 調遞增； 在和上單調遞減）這可是一個應用廣泛的函數！ 解對數函數問題時，你注意到真數與底數的限制條件了嗎？（真數大于零，底數大于零且不等于 1）字母底數還需討論呀 .2對數的換底公式及它的變形，你掌握了嗎？（） 2你還記得對數恒等式嗎？（） 2“實系數一元二次方程有實數解”轉化為“”，你是否注意到必須； 當 a=0 時，“方程有解”不能轉化為．若原題中沒有指出是“二次”方程、函數或不等式，你是否考慮到二次項系數可能為零的情形？二、三角、不等式 2三角公式記住了嗎？兩角和與差的公式________________； 二倍角公式 :_________________萬能公式 ______________正切半角公式 ____________________； 解題時本著“三看”的基本原則來進行 :“看角 ,看函數 ,看特征” ,基本的技巧有 :巧變角 ,公式變形使用 ,化切割為弦 ,用倍角公式將高次降次 ,2在解三角問題時，你注意到正切函數、余切函