高中數學常用公式及常用結論大全[五篇]-資料下載頁

　　

【正文】 ： (λ +μ )a=λ a+μ a。(3)第二分配律：λ (a+b)=λ a+λ .向量的數量積的運算律： (1)a b=b a（交換律） 。(2)（ a） b=（ a b） =a b=a（ b） 。(3)（ a+b） c=a c+b 如 果 e e2 是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數λ λ 2，使得 a=λ 1e1+λ 2e2．不共線的向量 e e2 叫做表示這一平面內所有向量的一組基底． 60．向量平行的坐標表示 設a=,b=，且 b0，則 ab(b0). 與 b的數量積 (或內積 )a b=|a||b|cosθ． b 的幾何意義數量積 a b 等于 a 的長度 |a|與 b在 a 的方向上的投影 |b|cosθ的乘積． (1)設 a=,b=，則a+b=.(2)設 a=,b=，則 ab=.(3)設 A， B,則 .(4)設 a=，則 a=.(5)設 a=,b=，則 a b=. (a=,b=). =(A，B).65. 向 量 的 平 行 與 垂 直 設 a=,b= ，且 b0 ，則 A||bb= λ(a0)a b= 設，是線段的分點 ,是實數，且，則（） .△ ABC三個頂點的坐標分別為、 ,則△ ABC 的重心的坐標是 . .注 :圖形 F 上的任意一點P(x， y)在平移后圖形上的對應點為，且的坐標為 .69.“按向量平移”的幾個結論（ 1）點按向量 a=平移后得到點 .(2)函數的圖象按向量 a=平移后得到圖象 ,則的函數解析式為 .(3)圖象按向量 a=平移后得到圖象 ,若的解析式 ,則的函數解析式為 .(4)曲線 :按向量 a=平移后得到圖象 ,則的方程為 .(5)向量 m=按向量 a=平移后得到的向量仍然為 m=.70.三角形五“心”向量形式的充要條件設為所在平面上一點，角所對邊長分別為，則（ 1）為的外心 .（ 2）為的重心 .（ 3）為的垂心 .（ 4）為的內心 .（ 5）為的的旁心 .： （ 1） (當且僅當 a＝ b時取“ =”號 )．（ 2） (當且僅當 a＝ b 時取“ =”號 )．（ 3）（ 4）柯西不等式（ 5） .，則有（ 1）若積是定值，則當時和有最小值； （ 2）若和是定值，則當時積有最大值 .推廣已知，則有（ 1）若積是定值 ,則當最大時 ,最大； 當最小時 ,最小 .（ 2）若和是定值 ,則當最大時 ,最小； 當最小時 ,最大 .，如果與同號，則其解集在兩根之外； 如果與異號，則其解集在兩根之間 .簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間 .； . a0時，有 .或 .（ 1） .（ 2） .（ 3） . (1)當時 ,。.(2)當時 ,。率公式（、） .（ 1）點斜式 (直線過點，且斜率為 )．（ 2）斜截式 (b 為直線在 y軸上的截距 ).（ 3）兩點式 ()(、 ()).(4)截距式 (分別為直線的橫、縱截距， )（ 5）一般式 (其中 A、 B 不同時為 0).條直線的平行和垂直 (1)若，① 。② .(2)若 ,且 A A B B2 都不為零 ,①； ②； (1).(， ,)(2).(,).直線時，直線 l1 與 l2 的夾角是 . (1).(， ,)(2).(,).直線時，直線 l1 到 l2 的角是 .82．四種常用直線系方程 (1)定點直線系方程：經過定點的直線系方程為 (除直線 ),其中是待定的系數 。經過定點的直線系方程為 ,其中是待定的系數． (2)共點直線系方程：經過兩直線 ,的交點的直線系方程為 (除 )，其中λ是待定的系數． (3)平行直線系方程：直線中當斜率k 一定而 b變動時，表示平行直線系方程．與直線平行的直線系方程是()，λ是參變量． (4)垂 直直線系方程：與直線 (A≠ 0， B≠ 0)垂直的直線系方程是 ,λ是參變量． (點 ,直線： ).示的平面區域設直線，則或所表示的平面區域是： 若，當與同號時，表示直線的上方的區域； 當與異號時，表示直線的下方的區域 .簡言之 ,同號在上 ,異號在下 .若，當與同號時，表示直線的右方的區域； 當與異號時，表示直線的左方的區域 .簡言之 ,同號在右 ,異號在左 .（），則或所表示的平面區域是： 所表示的平面區域上下兩部分； 所表示的平面 區域上下兩部分 .（ 1）圓的標準方程 .（ 2）圓的一般方程 (＞ 0).（ 3）圓的參數方程 .（ 4）圓的直徑式方程 (圓的直徑的端點是、 ). (1)過點 ,的圓系方程是 ,其中是直線的方程 ,λ是待定的系數． (2)過直線 :與圓 :的交點的圓系方程是 ,λ是待定的系數． (3)過圓 :與圓 :的交點的圓系方程是 ,λ是待定的系數． ，則點在圓外 。點在圓上 。點在圓內 .三種 :。.其中 . 別為 O1， O2，半徑分別為 r1， r2， 。. (1)已知圓．①若已知切點在圓上，則切線只有一條，其方程是 .當圓外時 ,表示過兩個切點的切點弦方程．②過圓外一點的切線方程可設為，再利用相切條件求 k，這時必有兩條切線，注意不要漏掉平行于 y 軸的切線．③斜率為 k 的切線方程可設為，再利用相切條件求 b，必有兩條切線． (2)已知圓．①過圓上的點的切線方程為 。②斜率為的圓的切線方程為 .數方程是 .， .94．橢圓的的內外部（ 1）點在橢圓的內部 .（ 2）點在橢圓的外部 . 的切線方程 (1)橢圓上一點處的切線方程是 .（ 2）過橢圓外一點所引兩條切線的切點弦方程是 .（ 3）橢圓與直線相切的條件是 .， .外部 (1)點在雙曲線的內部 .(2)點在雙曲線的外部 .與漸近線方程的關系 (1）若雙曲線方程為漸近線方程： .(2)若漸近線方程為雙曲線可設為 .(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設為（，焦點在 x 軸上，焦點在 y 軸上） . (1)雙曲線上一點處的切線方程是 .（ 2）過雙曲線外一點所引兩條切線的切點弦方程是 .（ 3）雙曲線與直線 相切的條件是 .半徑 .過焦點弦長 . P 或 P，其中 .函數的圖象是拋物線：（ 1）頂點坐標為； （ 2）焦點的坐標為； （ 3）準線方程是 . (1)點在拋物線的內部 .點在拋物線的外部 .(2)點在拋物線的內部 .點在拋物線的外部 .(3)點在拋物線的內部 .點在拋物線的外部 .(4)點在拋物線的內部 .點在拋物線的外部 . (1)拋物線上一點處的切線方程是 .（ 2）過拋物線外一點所引兩條切線的切點弦方程是 .（ 3）拋物線與直線相切的條件是 . (1)過曲線 ,的交點的曲線系方程是 (為參數 ).(2)共焦點的有心圓錐曲線系方程 ,其中 .當時 ,表示橢圓 。當時 ,表示雙曲線 .（弦端點 A，由方程消去 y 得到， ,為直線的傾斜角，為直線的斜率） .107.圓錐曲線的兩類對稱問題（ 1）曲線關于點成中心對稱的曲線是 .（ 2）曲線關于直線成軸對稱的曲線是 .108.“四線”一方程對于一般的二次曲線，用代，用代，用代，用代，用代即得方程，曲線的切線，切點弦，中點弦，弦中點方程均是此方程 得到 .109．證明直線與直線的平行的思考途徑（ 1）轉化為判定共面二直線無交點； （ 2）轉化為二直線同與第三條直線平行； （ 3）轉化為線面平行； （ 4）轉化為線面垂直； （ 5）轉化為面面平行 .110．證明直線與平面的平行的思考途徑（ 1）轉化為直線與平面無公共點； （ 2）轉化為線線平行； （ 3）轉化為面面平行 .111．證明平面與平面平行的思考途徑（ 1）轉化為判定二平面無公共點； （ 2）轉化為線面平行； （ 3）轉化為線面垂直 .112．證明直線與直線的垂直的思考途徑（ 1）轉化為相交垂直； （ 2）轉化為線面垂直； （ 3）轉化為線與另一線的射影垂直； （ 4）轉化為線與形成射影的斜線垂直 .113．證明直線與平面垂直的思考途徑（ 1）轉化為該直線與平面內任一直線垂直； （ 2）轉化為該直線與平面內相交二直線垂直； （ 3）轉化為該直線與平面的一條垂線平行； （ 4）轉化為該直線垂直于另一個平行平面； （ 5）轉化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直 .114．證明平面與平面的垂直的思考途徑（ 1）轉化為判斷二面角是直二面角； （ 2）轉化為線面垂直 .算律 (1)加法交換律： a＋ b=b＋ a． (2)加法結合律： (a＋ b)＋ c=a＋ (b＋ c)． (3)數乘分配律：λ (a＋ b)=λ a＋λ b． 行四邊形法則向空間的推廣始點相同且不在同一個平面內的三個向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量 . a、 b(b≠ 0)，a∥ b 存在實數λ使 a=λ b．三點共線 .、共線且不共線且不共線 .118.共面向量定理向量 p 與兩個不共線的向量 a、 b 共面的存在實數對 ,使．推論空間一點 P 位于平面 MAB 內的存在有序實數對 ,使，或對空間任一定點 O，有序實數對，使 . A、 B、C，滿足（），則當時，對于空間任一點，總有 P、 A、 B、 C 四點共面； 當時，若平面 ABC，則 P、 A、 B、 C四點共面； 若平面 ABC，則 P、 A、 B、 C 四點不共面．四點共面與、共面（平面 ABC） . a、 b、 c 不共面，那么對空間任一向量 p，存 在一個唯一的有序實數組 x， y， z，使 p＝ xa＋yb＋ zc．推論設 O、 A、 B、 C 是不共面的四點，則對空間任一點 P，都存在唯一的三個有序實數 x， y， z，使 . =a 和軸，e 是上與同方向的單位向量 .作 A 點在上的射影，作 B 點在上的射影，則〈 a， e〉 =a a＝， b＝則 (1)a＋ b＝； (2)a－ b＝； (3)λ a＝ (λ∈ R)； (4)a b＝； A， B，則 =.124．空間的線線平行或垂直設，則； . a＝， b＝，則 cos〈 a， b〉 =.推論，此即三維柯西不等式 . ,與所成的角為 ,則 .127．異面直線所成角 =（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量） (為平面的法向量 ).所在平面若與過若的平面成的角 ,另兩邊 ,與平面成的角分別是、 ,為的兩個內角，則 .特別地 ,當時 ,有 .角 ,另兩邊 ,與平面成的角分別是、 ,為的兩個內角，則 .特別地 ,當時 ,有 .（，為平面，的法向量） . 弦定理設 AC 是α內的任一條直線，且 BC⊥ AC，垂足為 C，又設 AO 與 AB 所成的角為， AB 與 AC 所成的角為， AO 與 AC 所成的角為．則 .定理若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個半平面所成的角是 ,與二面角的棱所成的角是θ，則有 。(當且僅當時等號成立 ).134.空間兩點間的距離公式若 A， B，則 =. (點在直線上，直線的方向向量 a=，向量 b=). (是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點，為間的距離 ).（為平面的法向量，是經過面的 一條斜線，） .離公式 ..（） .(兩條異面直線 a、 b 所成的角為θ，其公垂線段的長度為 a、 b 上分別取兩點 E、 F， ,).式 ，夾角分別為 ,則有 .（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例） .141.面積射影定理 .(平面多邊形及其射影的面積分別是、它們所在平面所成銳二面角的為 ). ,側面積和體積分別是和 ,它的直截面的周長和面積分別是和 ,則① .② .143．作截 面的依據三個平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點或互相平行 .144．棱錐的平行截面的性質如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比（對應角相等，對應邊對應成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應邊的比的平方）； 相應小棱錐與小棱錐的側面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比． (歐拉公式 )(簡單多面體的頂點數 V、棱數 E和面數 F).（ 1） =各面多邊形邊數和的一半 .特別地 ,若每個面的邊數為的多 邊形，則面數 F與棱數 E的關系：； （ 2）若每個頂點引出的棱數為，則頂點數 V與棱數 E的關系： .146.球的半徑是 R，則其體積 ,其表面積． (1)球與長方體的組合體 :長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長 .(2)球與正方體的組合體 :正方體的內切球的直徑是正方體的棱長 ,正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長 ,正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長 .(3)球與正四面體的組合體 :棱長為的正四面體的內切球的半徑為 ,外接球的半徑為 .148．柱體、錐體的體積（是柱體的底面積、是柱體的高） .（是 錐體的底面積、是錐體的高） .（加法原理） .（乘法原理） . ==.(，∈ N*，且 )．注 :規定 . (1） 。（ 2） 。（ 3） 。（ 4） 。（ 5） .(