[理學]微積分ppt課件(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 n )xxx???34ee 2d l n21 ( l n )xx???34ee2 a r c s in( ln )x??? ?? .6?? 微積分基本定理 (79) 32 例 12 計算定積分 解 220d , ( 0 ) .a x ax a x????令 ,s in tax ?ax? π ,2t??0?x ,0?? td c o s d ,x a t t?原式 π2220c o s ds in ( 1 s in )a t ta t a t????π20c o s ds in c o stttt? ??π201 c o s s in1d2 s in c o stt ttt??????? ????π201 π 1 ln s in c o s2 2 2 tt??? ? ? ???π.4? 微積分基本定理 (79) 33 引理 1 設 )( xf 在 ],[ aa? 上連續，且有 ① )( xf 為偶函數，則 0( ) d 2 ( ) daaaf x x f x x????； ② )( xf 為奇函數，則 ( ) d 0aaf x x???. 證 00( ) d ( ) d ( ) d ,aaf x x f x x f x x?? ??? ? ?在 0( ) da f x x??中令 tx ?? , 微積分基本定理 (79) 34 0 ( ) da f x x? ??0 ( ) da f t t? ? ?? 0 ( ) d ,a f t t??① )( xf 為偶函數，則 ),()( tftf ??00( ) d ( ) d ( ) daaf x x f x x f x x?? ??? ? ?02 ( ) d 。a f t t? ?② )( xf 為奇函數，則 ),()( tftf ???00( ) d ( ) d ( ) daaf x x f x x f x x?? ??? ? ?.? 微積分基本定理 (79) 35 奇函數 例 13 計算定積分 解 21212 c o s d.11x x x xx?????原式 21212 d11x xx?????121c o s d11xx xx?????偶函數 21204d11x xx????22120( 1 1 )4d1 ( 1 )xx xx??????1 204 ( 1 1 ) dxx? ? ??1 204 4 1 dxx? ? ??4 π .??單位圓的面積 微積分基本定理 (79) 36 引理 2 若 )( xf 在 ]1,0[ 上連續，證明 （ 1 ） π π2200( s in ) d ( c o s ) df x x f x x???。 （ 2 ） π π00π( s in ) d ( s in ) d2x f x x f x x???. 證 （ 1）設 π2xt??d d ,xt? ? ?0?x π,2t?? π2x? ,0?? tπ20 ( sin ) df x x? π20 πs in d2f t t????? ? ?????????? 微積分基本定理 (79) 37 π π2200( sin ) d ( c o s ) d .f x x f x x????（ 2）設 πxt?? d d ,xt? ? ?0?x π ,t?? πx ? ,0?? tπ0 ( sin ) dxf x x?0π ( π ) [ sin( π ) ] dt f t t? ? ? ??π0 ( π ) ( sin ) d ,t f t t???π20 ( c os ) df t t? ? 微積分基本定理 (79) 38 π0π ( s in ) df t t? ?π0 ( sin ) dtf t t? ?π0π ( s in ) df x x? ?π0 ( s in ) d ,x f x x? ?π π00π( s in ) d ( s in ) d .2x f x x f x x????π0 ( sin ) dxf x x? 微積分基本定理 (79) 39 例 14 計算定積分 π20s i n d1 c o sxx xx??. 解 π20s i n d1 c o sxx xx??π20π s in d2 1 c o sx xx? ??π20π d( c o s )2 1 c o sxx?? ?? ? ?π0π a r c t a n ( c o s )2 x??2π.4?π π π()2 4 4? ? ? ?根據 引理 2 ， 定積分 微積分基本定理 (79) 40 幾個特殊積分、定積分的幾個等式 . 定積分的換元法 : ( )dba f x x? [ ( ) ] ( ) df t t t?? ?? ?? ? 小結與思考題 3 微積分基本定理 (79) 41 思考題 指出求222d1xxx?? ??的解法中的錯誤， 并寫出正確的解法 . 解 令 ,s e c tx ? ,4332: ???t d t an se c d ,x t t t?222d1xxx?? ??3423ππs e c t a n ds e c t a nt t ttt????3423πππd.12t??? 微積分基本定理 (79) 42 思考題解答 計算中第二步是錯誤的 . tx se c??,43,32 ?????? ???t ,0tan ?t .t ant an12 ttx ???正確解法是 222d1xxx?? ??tx s e c?3423ππs e c t a n ds e c t a nt t ttt???3423πππd.12t? ? ? ?? 微積分基本定理 (79) 43 一、 填空題： 1 、ππ3πc o s ( ) d3xx ???_____ ； 2 、 π30( 1 sin ) d?????_ ____ ； 3 、 1 22122( a r c c o s )d1xxx????_ ___ ； 4 、325425s in d21x x xxx?????_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 課堂練習題 二、 計算下列定積分： 1 、 π 32π2c o s c o s dx x x??? ； 2 、 1 2 2 3 21( 1 1 ) dx x x x x?? ? ??； 3 、2 30ma x { , } dx x x?； 4 、 20dx x x???（ 為參數? ） . 微積分基本定理 (79) 44 三 、證明： 0( ) d [ ( ) ( ) ] daaaf x x f x f x x?? ? ???, 并求 π4π4d1 s inxx? ??. 四 、設 ()fx 在 [ , ]ab 上連續， 證明 π2 π2001( c o s ) d ( c o s ) d4f x x f x x???. 微積分基本定理 (79) 45 課堂練習題答案 一、 1 、23 ； 2 、 4π3?； 3 、 32 π( 1 )3 2 7?