【統計課件】第4章統計假設檢驗與參數估計(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 μ μ 0 。 ? ???,u ?0?? ?下一張 主 頁 退 出 上一張 0?? ? 利用一尾概率進行的檢驗叫 單側檢驗 （ onesided test），也叫 單尾檢驗 （ onetailed test）。此時 uα為單側檢驗的臨界 u值。 單側檢驗的 uα=雙側檢驗的 u2α。 下一張 主 頁 退 出 上一張 圖 43 一尾檢驗 H0： μ≥μ0 HA： μμ0 H0： μ≤ μ0 HA： μμ0 臨界值 u2α或 t2α α 2 樣本平均數的假設檢驗 在實際工作中我們往往需要檢驗一個樣本平均數與已知的總體平均數是否有顯著差異，即檢驗該樣本是否來自某一總體。即檢驗無效假設 H0:μ ＝ μ 0，備擇假設 HA：μ ≠ μ 0或 μ μ 0(μ μ 0)的問題。 已知的總體平均數一般為一些公認的 理論數值、經驗數值或期望數值 。常用的檢驗方法有 u檢驗和 t檢驗。 下一張 主 頁 退 出 上一張 單個樣本平均數的假設檢驗 實質是樣本所在總體平均數與已知總體平均數差異顯著性檢驗。 單個樣本平均數的 u 檢驗 u 檢驗（ utest） ，就是在假設檢驗中利用標準正態分布 來進行統計量的概率計算的檢驗方法。 Excel中統計函數（ Ztest） 。 由抽樣分布理論可知，有兩種情況的資料可以用 u檢驗方法進行分析： 樣本資料服從正態分布 N（ μ ,σ 2） ,并且總體方差 σ 2已知；總體方差雖然未知，但樣本平均數來自于大樣本（ n≥30 ） 。 下邊舉例說明檢驗過程： 【 例 41】 某罐頭廠生產肉類罐頭，其自動裝罐機在正常工作時每罐凈重服從正態分布 N（ 500， 64）（單位， g）。某日隨機抽查 10瓶罐頭，得凈重為： 505， 512， 497， 493， 508， 515， 502， 495， 490， 510。問裝罐機當日工作是否正常？ 由題意知，樣本服從正態分布，總體方差 σ 2 ＝ 64，符合 u檢驗應用條件。由于當日裝罐機的每罐平均凈重可能高于或低于正常工作狀態下的標準凈重，故需作兩尾檢驗。其方法如下： （ 1） 提出假設。 無效假設 H0： μ ＝ μ 0＝ 500 g，即當日裝罐機每罐平均凈重與正常工作狀態下的標準凈重一樣。 備擇假設 HA： μ≠ μ0， 即罐裝機工作不正常。 （ 2）確定顯著水平。 α ＝ （兩尾概率） （ 3）構造統計量，并計算樣本統計量值。 510512505n xx i ＝＝＝ ???? ?均數標準誤： ＝＝＝ ??樣本平均數： 統計量 u值： 10/8/0 ＝＝ ???nxu??（ 4） 統計推斷。 由顯著水平 α ＝ ，查附表，得臨界值 ＝ 。實際計算出的 表明， 試驗表面效應僅由誤差引起的概率 P,故不能否定 H0 ，所以，當日裝罐機工作正常。 6 ＝＝ ?xSxt 0t ???統計量下一張 主 頁 退 出 上一張 單個樣本平均數的 t 檢驗 t 檢驗（ ttest）是利用 t分布來進行統計量的概率計算的假設檢驗方法。 它主要應用于 總體方差未知時 的小樣本資料 （ n30） 。 nSSx＝均數標準誤 其中， 為樣本平均數， S為樣本標準差， n為樣本容量。 x例 42 用山楂加工果凍，傳統工藝平均每 100 g加工 500g果凍，采用新工藝后，測定了 16次，得知每 100g山楂可出果凍平均為 ＝ 520g，標準差 S＝ 12g。問新工藝與老工藝在每 100g加工果凍的量上有無顯著差異？ 本例總體方差未知，又是小樣本，采用雙側 t檢驗。 （ 1）提出無效假設與備擇假設 ，即新老工藝沒有差異。 ，新老工藝有差異。 00 ?? ?：H0?? ?：AH下一張 主 頁 退 出 上一張 x （ 2）確定顯著水平 α ＝ （ 3）計算 t值 x**66 350 052 00 ＝＝ ???xSuxt151611 ????? ndf自由度=520g， S=12g 所以 31612 ＝＝＝均數標準誤nSSx（ 4）查臨界 t值，作出統計推斷 由 =15，查 t值表（附表 3）得（ 15） =，因為 |t|， P， 故應否定 H0， 接受 HA， 表明新老工藝的每 100g加工出的果凍量差異極顯著。（在統計量 t上標記 **） df下一張 主 頁 退 出 上一張 【 例 43】 某名優綠茶含水量標準為不超過 ％。現有一批該綠茶，從中隨機抽出 8個樣品測定其含水量，平均含水量 ＝ ％，標準差 S＝ ％。問該批綠茶的含水量是否超標？ x符合 t檢驗條件，為單尾檢驗。 （ 1）提出無效假設與備擇假設 H0： ≤ ＝ ％， HA： （ 2）計算 t 值 Sxt8nS Sx0＝＝＝＝＝＝?? ?x下一張 主 頁 退 出 上一張 ? ?0?0?7181 ????? ndf （ 3）查臨界 t值，作出統計推斷 單側 = 雙側 = ，t= 單側 （ 7） ， P ， 不能否定 H0 ： ≤ =％，可以認為該批綠茶的含水量符合規定要求。 )7( )7(t?下一張 主 頁 退 出 上一張 0? 【 例 】 按飼料配方規定，每 1000kg某種飼料中維生素 C不得少于 246g，現從工廠的產品中隨機抽測 12個樣品，測得維生素 C含量如下： 255 、 260、 26 24 24 24 250、 23 24 24 25270g/1000kg，若樣品的維生素 C含量服從正態分布，問此產品是否符合規定要求？ 下一張 主 頁 退 出 上一張 按題意，此例應采用單側檢驗。 （ 1）提出無效假設與備擇假設 H0： ≤ 246， HA： 246 （ 2）計算 t 值 經計算得： =， S= x下一張 主 頁 退 出 上一張 ? ?所以 = = = xSxt ???246252 ?6111121 ????? ndf 查臨界 t值，作出統計推斷 因為單側 = 雙側 = ，t= 單側 （ 11） ， P ， 否定 H0 ： ≤ 246，接受 HA ： 246，可以認為該批飼料維生素 C含量符合規定要求。 )11( )11(??下一張 主 頁 退 出 上一張 在實際工作中還經常會遇到推斷兩個樣本平均數差異是否顯著的問題，以了解兩樣本所屬總體的平均數是否相同。對于兩樣本平均數差異顯著性檢驗，因 試驗設計 或 調查取樣 不同，一般可分為兩種情況。 下一張 主 頁 退 出 上一張 兩個樣本平均數的差異顯著性檢驗 成組資料平均數的假設檢驗 非配對設計 兩樣本平均數的差異顯著性檢驗 成組設計： 當一個試驗只有 兩個處理 的時，可將 試驗單元 完全隨機地分成 兩組 ，然后對兩組試驗單元各自獨立地隨機施加一個處理。在這種設計中兩組的試驗單元相互獨立，所得的兩個樣本相互獨立，其含量不一定相等。這種試驗設計為處理數 k＝ 2的完全隨機化設計。這樣得到的試驗資料為成組資料。成組設計數據資料的一般形式見表 41。 下一張 主 頁 退 出 上一張 表 41 成組設計（非配對設計）資料的一般形式 下一張 主 頁 退 出 上一張 成組資料的特點：兩組數據相互獨立，各組數據的個數可等，也可不等 1 u 檢驗 如果兩個樣本所在總體為正態分布，且總體方差 和 已知；或者總體方差未知，但兩個樣本都是大樣本（ n1， n2≥30 ），可采用 u檢驗來分析。由兩均數差抽樣分布理論可知，在上述條件下，兩個樣本平均數之差服從正態分布，即 21 xx ? ), ( 2x21x21 xxN ??21?22?21 ?? ?? x21x?2x21x? 222121 nn ?? ??～ 參數關系： )21(21 )()(u 21xxxx????????～ N（ 0， 1） 那 么 在 H0： μ 1＝ μ 2下，正態離差 u值為 )21()(u 21xxxx????222121)21(nn??? ??? xx差數標準誤為 根據 42， 43即可對兩樣本均數的差異做出檢驗 （ 42） （ 43） 如果總體方差未知，但兩個樣本為大樣本，可由樣本方差 S1 S22分別估計總體方差 σ 12 、 σ 22 ，平均數差數的標準誤可由下列公式估計： 22112122S nnSSxx ???其中， S1 S22分別是樣本含量為 n n2的兩個樣本方差。 例 44 在食品廠的甲乙兩條生產線上各測定了 30個日產量如表所示，試檢驗兩條生產線的平均日產量有無顯著差異。 甲生產線（ x1） 乙生產線（ x2） 74 71 56 54 71 78 65 53 54 60 56 69 62 57 62 69 73 63 58 49 51 53 66 62 61 72 62 70 78 74 58 58 66 71 53 56 77 65 54 58 63 62 60 70 65 58 56 69 59 62 78 53 67 70 68 70 52 55 55 57 表 42 甲乙兩條生產線日產量記錄 （ 1）建立假設。 即兩條生產線的平均日產量無差異。 210 ?? ?：H21 ?? ?：AH（ 2） 確定顯著水平 α ＝ （ 3） 計算 ＝x＝x ＝S8 74 ＝S故： 22112122＝nnSSxx ???** S)()(u)21()21(2121 ＝＝xxxxxxxx??????（ 4）統計推斷。 由 α＝ 2，得 ＝ 實際 |u|＝ ＝ ，故 P，應否定 H0，接受 HA。說明兩個生產線的日平均 產量有極顯著差異，甲生產線日平均產量高于乙生產線日平均產量。 當兩個樣本所在總體方差未知，又是小樣本，但假定 時，有 下：在 210 ?? ?H2121xxSxxt???下一張 主 頁 退 出 上一張 2 t 檢驗 222 21 ??? ??)21(21 )()( 21xxsxxt????? ?? ～ t（ ） 221 ??nn（ 44） 22112122S nnSSxx ???由 44式可作兩樣本平均數差異的 t檢驗。 當樣本含量相等時（ ） nnn 21 ??nSSxx222121S ???自由度 df＝ 2（ n1） 例 45 海關抽檢出口罐頭質量，發現有脹聽現象，隨機抽取了 6個樣品，同時隨機抽取 6個正常罐頭樣品測定其