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高等數(shù)學(xué)第十章曲線積分(編輯修改稿)

2026-02-04 13:43 本頁面

　

【文章內(nèi)容簡介】分曲線為閉曲線 , 由三段組成 L321 LLLL ???故應(yīng)根據(jù)每段曲線的特點，選擇不同的計算方法 . 在與 1L3L 上可用框圖中線路 1的方法計算，在上可用線路 3的方 2L法計算。解：積分曲線為閉曲線（如圖） L其中 )。0( ,0 :1 axyOAL ????)。40( , :2 ??? ???? aABL).20( , :3 axxyOBL ????故 ?????? ???322222122 LyxLyxLyx dsedsedseI??? ?????????? ? 2 0 224 0 22 0 2 )(1)()0(1 a xaa x dxxedaaedxe??? ???? ? 2 0 24 0 0 2a xaa x dxedaedxe.2)42( ??? ae a ?,321 LLLL ???可分解為 xy0 1L3L2L【例 5】設(shè) 為橢圓其周長記為 L ,13422?? yx ,a求 .)432( 22? ??L dsyxxy分析由于積分曲線可恒等變形為 134 :22?? yxL ,1243 : 22 ?? yxL而被積函數(shù) 中又含有故可將 22 432 yxxy ?? ,4322 yx ? 1243 22 ?? yx代入，從而簡化被積函數(shù)，然后再計算；對于積分 ,2?L xy ds.02 ??L xy ds由于關(guān)于軸對稱 , 函數(shù) 關(guān)于為奇函數(shù) , 故有 y xy2 xL解：由奇偶對稱性可知所以 ,02 ??L x yd s? ??L dsyxxy )432( 22 ? ?? L dsxy )122(?? ?? LL dsx y d s 122aa 12120 ???注：由于被積函數(shù) 定義在曲線上 , 故滿足曲線 ) ,( yxf L yx , L的方程。因此，計算第一型曲線積分時應(yīng)首先需要利用曲線方程化簡被積函數(shù)，這是計算曲線積分的一個重要知識點 . 分析此題若用選取參數(shù)方程計算，將會很麻煩。注意到積分曲線是而由輪換對稱性可知：故 ,122 ?? yx ,22 ?? ?LL dsydsx由奇偶對稱性知：故本題有如下簡單的解法。 .0)( ??? L dsyx? ?????? ????? L dsyxyx )()454( 22 ? ??? L dsyx )454(22?? ????? LL dsdsyxyx 2222 45)82(????? ? 245)8121(L ds ?????? 4152545【例 6】 * 求 , 其中 ??????? ???? L dsyxI 22 )12()21( .1 :22 ?? yxL解 : ??????? ???? L dsyxI 22 )12()21(【例 7】設(shè)螺旋線彈簧一圈的方程為 ,c o s tax ? ,sin tay ? ,ktz?其中它的線密度求此線關(guān)于 ,20 ??? t .) , ,( 222 zyxzyx ???? z軸的轉(zhuǎn)動慣量 .zI分析本題為對弧長的曲線積分在物理中的應(yīng)用問題，應(yīng)先將所求的轉(zhuǎn)動慣量用對弧長的曲線積分 ? ??Lz dszyxyxI 22 ) , ,()( ?表示，然后計算積分即可。解：所求的轉(zhuǎn)動慣量為而 ,) , ,()( 22? ??Lz dszyxyxI ?dttztytxds )()()( 222 ?????? dtka 22 ??故 ???Lz dszyxyxI 22 ) , ,()( ? ? ????Ldszyxyx 22222 ))((? ? ??? 2 0 222222 )( dtkatkaa )43(32 222222 kakaa ?????六、對坐標(biāo)對曲線積分典型例題【例 1】計算曲線積分其中為曲線 ,)()( 2222? ????L dyyxdxyxIL|1|1 xy ??? )20( ?? x 沿增大的方向 . x分析由于故曲線積分與路徑有關(guān) . 又因為曲線 ,xQyP ????? L不是封閉的，按解題方法流程圖，計算本題有兩種方法：一是將第二型曲線積分直接轉(zhuǎn)化為定積分計算；二是采用補特殊路徑，然后應(yīng)用 Green公式計算。本題采用第一種方法計算比較簡便，這里應(yīng)首先將積分曲線的方程改寫為 L,21 ,2 10 ,??? ??? ??? xx xxy再代入被積函數(shù)中計算。解：由于所以 ,21 ,210 ,?????????xxxxy? ???? L dyyxdxyxI 2222 )()(? ? ? ???? ???????? 2 1 222 1 221 0 2 )()2()2(2 dxxxdxxxdxx? ??? 2 1 2)2(232 dxx .34)2(3232 213 ???? x分析本題為沿空間曲線的積分，從所給曲線來看，可采用參數(shù)法轉(zhuǎn)化為定積分來計算，這里關(guān)鍵是要正確寫出積分曲線的參數(shù)方程。考慮到本題為沿空間平面閉曲線的積分，故又可利用斯托克斯（ Stokes）公式將曲線積分轉(zhuǎn)化為曲面積分計算。【例 2】計算曲線積分 , 其中為有向閉折線 ?? ??? y d zdydxI?, 這里的依次為點、、 ABCA )0 ,0 ,1(A )0 ,1 ,0(B ).1 ,0 ,0(CCBA ,解法 1：化為定積分計算 . 由于 CABCABL ??? (如圖 )，這里。0 ,1 , : ???? zxyxxAB。 ,1 ,0 : zzzyxBC ????。1 ,0 , : xzyxxCA ????所以 ? ??AB y dzdydx 。2])1(1[0 1 ?????? ? dxx從變到。 10z從變到。 1 0x從變到

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