[高等教育]2007年1月-20xx年7月自考線性代數經管類試題全部(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?的秩，并給出該向量組的一個極大無關組，同時將其余的向量表示成該極大無關組的線性組合 . 24．當 ? 為何值時，齊次方程組 1 2 31 2 31 2 32 2 02030x x xx x xx x x?? ? ???? ? ???? ? ??有非零解？并求其全部非零解 . 25．已知 1,1,1 是三階實對稱矩陣 A 的三個特征值，向量 1 (1,1,1)T? ? 、 2 (2,2,1)T? ? 是 A 的對應于 121????的特征向量，求 A 的屬于 3 1??? 的特征向量 . 26．求正交變換 Y=PX，化二次型 f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x32x2x3 為標準形 . 四、證明題（本大題 6 分） 27．設 1 2 3? ? ?， ， 線性無關，證明 1 1 2 1 323? ? ? ? ???， ， 也線性無關 全國 2022 年 4 月 試題 課程代碼： 04184 說明： AT 表示矩陣 A 的轉置矩 陣， A*表示矩陣 A 的伴隨矩陣， E 是單位矩陣， |A|表示方陣 A 的 行 列式 . 一、單項選擇題（本大題共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分） 在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。 13 1．下列等式中，正確的是（ ） A． B． 3 = C． 5 D． 2．下列矩陣中，是初等矩陣的為（ ） A． B． C． D． 3． 設 A、 B 均為 n 階可逆矩陣，且 C= ，則 C1 是 （ ） A． B． C． D． 4． 設 A 為 3 階矩陣， A 的秩 r (A)=3，則矩陣 A*的秩 r (A*)=（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 5． 設向量 ，若有常數 a,b 使 ， 則 （ ） A． a=1, b=2 B． a=1, b=2 C． a=1, b=2 D． a=1, b=2 6． 向量組 的極大線性無關組為 （ ） A． B． C． D． 7． 設矩陣 A= ，那么矩陣 A 的列向量組的秩為 （ ） A． 3 B． 2 C． 1 D． 0 8． 設 是可逆矩陣 A 的一個特征值，則矩陣 有一個特征值等于 （ ） A． B． C． D． 9． 設矩陣 A= ，則 A 的對應于特征值 的特征向量為 （ ） A． （ 0， 0， 0） T B． （ 0， 2， 1） T C． （ 1， 0， 1） T D． （ 0， 1， 1） T 10． 二次型 222121321 2),( xxxxxxxf ??? 的矩陣為 （ ） A． B． C． D． 二、填空題（本大題共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分） 請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。 11．行列式 __________. 14 12． 行列式2235001011110403??中第 4 行各元素的代數余子式之和為 __________. 13． 設矩陣 A= ， B=（ 1， 2， 3），則 BA=__________. 14． 設 3 階方陣 A 的行列式 |A|=21，則 |A3|=__________. 15． 設 A， B 為 n 階方陣，且 AB=E， A1B=B1A=E，則 A2+B2=__________. 16． 已知 3 維向量 =（ 1， 3， 3）， （ 1， 0， 1）則 +3 =__________. 17． 設向量 =（ 1， 2， 3， 4），則 的單位化向量為 __________. 18． 設 n 階矩陣 A 的各行元素之和均為 0，且 A 的秩為 n1，則齊次線性方程組 Ax=0 的通解為 __________. 19． 設 3 階矩陣 A 與 B 相似，若 A 的特征值為41,31,21，則行列式 |B1|=__________. 20． 設 A= 是正定矩陣，則 a 的取值范圍為 __________. 三、計算題（本大題共 6 小題，每小題 9 分，共 54 分） 21．已知矩陣 A= ， B= ， 求：（ 1） ATB； （ 2） |ATB|. 22． 設 A= ， B= ， C= ，且滿足 AXB=C，求矩陣 X. 23． 求向量組 =（ 1, 2, 1, 0） T， =（ 1, 1, 1, 2） T， =（ 3, 4, 3, 4） T， =（ 4, 5, 6, 4） T的秩與一個極大線性無關組 . 24． 判斷線性方程組?????????????????1542421343143214321xxxxxxxxxxx 是否有解，有解時求出它的解 . 25． 已知 2 階矩陣 A 的特征值為 =1， =9，對應的特征向量依次為 =（ 1， 1） T， =（ 7， 1） T，求矩陣 A. 26． 已知矩陣 A 相似于對角矩陣 Λ = ，求行列式 |AE|的值 . 四、證明題（本大題共 6 分） 27．設 A 為 n 階對稱矩陣， B 為 n 階反對稱矩陣 .證明： （ 1） ABBA 為對稱矩陣 ； （ 2） AB+BA 為反對稱矩陣 . 15 全國 2022 年 1 月試題 課程代碼： 04184 說明： 本卷中， A1 表示方陣 A 的逆矩陣， r(A)表示矩陣 A 的秩，（ ??, ）表示向量 ? 與 ? 的內積， E 表示單位矩陣， |A|表示方陣 A 的行列式 . 一、單項選擇題（本大題共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分） 在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。 333231232221131211aaaaaaaaa =4，則行列式333231232221131211333222aaaaaaaaa =（ ） A， B， C， X 為同階方陣，且 A， B 可逆， AXB=C，則矩陣 X=（ ） A2+AE=0，則矩陣 A1=（ ） +E +E 54321 , ????? 是四維向量，則（ ） A. 54321 , ????? 一定線性無關 B. 54321 , ????? 一定線性相關 C. 5? 一定可以由 4321 , ???? 線性表示 D. 1? 一定可以由 5432 , ???? 線性表出 A 是 n 階方陣，若對任意的 n 維向量 x 均滿足 Ax=0,則（ ） =0 =E (A)=n r(A)(n) A 為 n 階方陣， r(A)n，下列關于齊次線性方程組 Ax=0 的敘述正確的是（ ） =0 只有零解 =0 的基礎解系含 r(A)個解向量 =0 的基礎解系含 nr(A)個解向量 =0 沒有解 21,?? 是非齊次線性方程組 Ax=b 的兩個不同的解，則（ ） A. 21 ??? 是 Ax=b 的解 B. 21 ??? 是 Ax=b 的解 C. 21 23 ??? 是 Ax=b 的解 D. 21 32 ??? 是 Ax=b 的解 1? ， 2? ， 3? 為矩陣 A=??????????200540093 的三個特征值，則321 ??? =（ ） P 為正交矩陣，向量 ??, 的內積為（ ??, ） =2，則（ ??PP, ） =（ ） f(x1,x2,x3)= 323121232221 222 xxxxxxxxx ????? 的秩為（ ） 二、填空題（本大題共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分） 16 請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。 12 21 ??? kk=0，則 k=_________________________. A= ?????? 11 01， k 為正整數，則 Ak=_________________________. 2 階可逆矩陣 A 的逆矩陣 A1= ?????? 43 21，則矩陣 A=_________________________. ? =（ 6， 2， 0， 4）， ? =（ 3， 1， 5， 7），向量 ? 滿足 ??? 32 ?? ，則 ? =_________________________. A 是 mn 矩陣， Ax=0,只有零解，則 r(A)=_________________________. 21,?? 是齊次線性方程組 Ax=0 的兩個解，則 A（ 3 21 7??? ） =________. V={（ x1,x2,x3） |x1x2+x3=0}的維數是 ______________________. A 有一個特征值為 0，則 |A3|=________________________. ?1? （ 1， 1， 3）， ?2? （ 2， 1， ? ）正交，則 ? =__________________. f(x1,x2,x3)= 3121232221 2224 xxxtxxxx ???? 是正定二次型，則 t 滿足 _________. 三、計算題（本大題共 6 小題，每小題 9 分，共 54 分） bacccbcabbaacba??????222222 A=?????????????16101512211?? ，對參數 ? 討論矩陣 A 的秩 . ??????????100152131 X=????????????315241 ：???????????????21211? ，???????????????56522? ，?????????????11133? ，????????????????37214? 的一個極大線性無關組，并將其余向量通過該極大線性無關組表示出來 . ???????????????????03204230532432143214321xxxxxxxxxxxx 的一個基礎解系及其通解 . ????????????? 3142 281232 的特征值和特征向量 . 四、證明題（本大題共 1 小題， 6 分） 1? ， 2? ， …., k? 線性無關， 1j≤ k. 證明： 1? + j? ， 2? ， …, k? 線性無關 . 17 全國 2022 年 10 月 試題 課程代碼： 04184 一、單項選擇題 (本 大題共 1