自考線性代數(經管類)考點逐個擊破(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 由 n 個數組成的一個有序數組稱為一個 n 維向量，若用一行表示，稱為 n 維行向量，即 n?1 矩陣，若用一列表示，稱為 n 維列向量，即 1?n 矩陣 與矩陣線性運算類似，有向量的線性運算及運算律 . 2．向量的線性組合 設 m??? , 21 ? 是一組 n 維向量， mkkk , 21 ? 是一組常數，則稱 mmkkk ??? ??? ?2211 為 m??? , 21 ? 的一個線性組合，常數 mkkk , 21 ? 稱為組合系數 . 若一個向量 ? 可以表示成 mmkkk ???? ???? ?2211 則稱 ? 是 m??? , 21 ? 的線性組合，或稱 ? 可用 m??? , 21 ? 線性表出 . 3．矩陣的行、列向量組 設 A 為一個 nm? 矩陣，若把 A 按列分塊，可得一個 m 維列向量組稱之為 A 的列向量組 . 若把 A 按行分塊，可得一個 n 維行向量組稱之為 A 的行向量組 . 4．線性表示的判斷及表出系數的求法 . 向量 ? 能用 m??? , 21 ? 線性表出的充要條件是線性方程組???? ???? mmxxx ?2211 有解，且每一個解就是一個組合系數 . 例 1 問 T)5,1,1(??? 能否表示成 T)3,2,1(1 ?? ， T)4,1,0(2 ?? ， T)6,3,2(3 ?? 的線性組合？ 解：設線性方程組為 ???? ??? 332211 xxx 對方程組的增廣矩陣作初等行變換： ?????????????????????? ???110020201001564313121201),(),( 321 ?????A 則方程組有唯一解 1,2,1 321 ???? xxx 所以 ? 可以唯一地表示成 321 , ??? 的線性組合，且 321 2 ???? ??? （二）向量組的線性相關與線性無關 1． 線性相關性概念 設 m??? , 21 ? 是 m 個 n 維向量，如果存在 m 個不全為零的數 mkkk , 21 ? ，使得 02211 ???? mmkkk ??? ? ，則稱向量組 m?? , 21 ? 線性相關，稱 mkkk , 21 ? 為相關系數 .否則，稱向量 m??? , 21 ? 線性無關 . 由定義可 知， m??? , 21 ? 線性無關就是指向量等式02211 ???? mmkkk ??? ? 當且僅當 021 ???? mkkk ? 時成立 . 特別 單個向量 ? 線性相關 ? 0?? ； 單個向量 ? 線性無關 ? 0?? 2．求相關系數的方法 設 m??? , 21 ? 為 m 個 n 維列向量，則 m??? , 21 ? 線性相關 ? m 元齊次線性方程組 02211 ???? mmxxx ??? ? 有非零解，且每一個非零解就是一個相關系數 ?矩陣 ),( 21 mA ??? ?? 的秩小于 m 例 2 設向量組 1 2 3( 2 , 1 , 7 ) , (1 , 4 ,1 1 ) , ( 3 , 6 , 3 )T T T? ? ?? ? ? ? ?，試討論其線性相關性 . 解：考慮方程組 0332211 ??? ??? xxx 其系數矩陣 ??????????????????????????0001102013117641312),( 321 ???A 于是，秩 32)( ??A ，所以向量組線性相關，與方程組同解的方程組為 ??? ?? ?? 0023231 xx xx 令 13?x ，得一個非零解為 1,1,2 321 ???? xxx 則 02 321 ???? ??? 3．線性相關性的若干基本定理 定理 1 n 維向量組 m??? , 21 ? 線性相關 ? 至少有一個向量是其余向量的線性組合 .即 m??? , 21 ? 線性無關 ? 任一個向量都不能表示為其余向量的線性組合 . 定理 2 如果向量組 m??? , 21 ? 線性無關，又 m???? , 21 ? 線性相關，則 ?可以用 m??? , 21 ? 線性表出，且表示法是唯一的 . 定理 3 若向量組中有部分組線性相關，則整體組也必相 關，或者整體無關，部分必無關 . 定理 4 無關組的接長向量組必無關 . （三）向量組的極大無關組和向量組的秩 1．向量組等價的概念 若向量組 S 可以由向量組 R 線性表出，向量組 R 也可以由向量組 S 線性表出，則稱這兩個向量組等價 . 2．向量組的極大無關組 設 T 為一個向量組，若存在 T 的一個部分組 S，它是線性無關的，且 T中任一個向量都能由 S 線性表示，則稱部分向量組 S 為 T 的一個極大無關組 . 顯然，線性無關向量組的極大無關組就是其本身 . 對于線性相關的向量組，一般地，它的極大無關組不是唯一的，但有以下性質： 定 理 1 向量組 T 與它的任一個極大無關組等價，因而 T 的任意兩個極大無關組等價 . 定理 2 向量組 T 的任意兩個極大無關組所含向量的個數相同 . 3．向量組的秩與矩陣的秩的關系 把向量組 T 的任意一個極大無關組中的所含向量的個數稱為向量組 T 的秩 . 把矩陣 A 的行向量組的秩，稱為 A 的行秩，把 A 的列向量組的秩稱為 A 的列秩 . 定理：對任一個矩陣 A， A 的列秩 =A 的行秩 =秩（ A） 此定理說明，對于給定的向量組，可以按照列構造一個矩陣 A，然后用矩陣的初等行變換法來求出向量組的秩和極大無關組 . 例 3 求出下列向量組的秩和一個 極大無關組，并將其余向量用極大無關組線性表出： )3,4,4,2(),3,4,1,2(),6,6,1,1(),9,2,2,1(),7,2,1,1( 54321 ??????????? ????? 解：把所有的行向量都轉置成列向量，構造一個 54? 矩陣，再用初等行變換把它化成簡化階梯形矩陣? ? BA TTTTT ????????????????????????????????????????1000001100010100000133697446224112122111, 54321 ????? 易見 B 的秩為 4， A 的秩為 4，從而秩 ? ? 4, 54321 ?????? ，而且 B 中主元位于第一、二、三、五列，那么相應地 5321 , ???? 為向量組的一個極大無關組，而且 324 ??? ??? （四）向量空間 1． 向量空間及其子空間的定義 定義 1 n 維實列向量全體（或實行向量全體）構成的集合稱為實 n 維向量空間，記作 nR 定義 2 設 V 是 n 維向量構成的非空集合，若 V 對于向量的線性運算封閉，則稱集合 V 是 nR 的子空間，也稱為向量空間 . 2． 向量空間的基與維數 設 V 為一個向量空間，它首先是一個向量組，把該向量組的任意一個極大無關組稱為向量空間 V 的一個基，把向量組的秩稱為向量空間的維數 . 顯然， n 維向量空間 nR 的維數為 n，且 nR 中任意 n 個線性無關的向量都是 nR 的一個基 . 3． 向量在某個基下的坐標 設 r??? , 21 ? 是向量空間 V 的一個基，則 V 中任一個向量 ? 都可以用r??? , 21 ? 唯一地線性表出，由 r 個表出系數組成的 r 維列向量稱為向量 ? 在此基下的坐標 . 第四章 線性方程組 （一） 線性方程組關于解的結論 定理 1 設 bAX? 為 n 元非齊次線性方程組，則它有解的充要條件是)(),( ArbAr ? 定理 2 當 n 元非齊次線性方程組 bAX? 有解時，即 rArbAr ?? )(),( 時，那么 （ 1） bAX? 有唯一解 ? nr? ； （ 2） bAX? 有無窮多解 ? nr? . 定理 3 n 元齊次線性方程組 0?AX 有非零解的充要條件是 nrAr ??)( 推論 1 設 A 為 n 階方陣，則 n 元齊次線性方程組 0?AX 有非零解 ? 0?A 推論 2 設 A 為 nm? 矩陣，且 nm? ，則 n 元齊次線性方程組必有非零解 （二）齊次線性方程組解的性質與解空間 首先對任一個線性方程組，我們把它的任一個解用一個列向量表示，稱為該方程組的解向量，也簡稱為方程組的解 . 考慮由齊次線性方程組 0?AX 的解的全體所組成的向量集合 ? ?0?? ?? AV 顯然 V 是非空的，因為 V 中有零向量，即零解，而且容易證明 V 對向量的加法運 算及數乘運算封閉，即解向量的和仍為解，解向量的倍數仍為解，于是 V 成為 n 維列向量空間 nR 的一個子空間，我們稱 V 為方程組 0?AX 的解空間 （三）齊次線性方程組的基礎解系與通解 把 n 元齊次線性方程組 0?AX 的解空間的任一個基，稱為該齊次線性方程組的一個基礎解系 . 當 n 元齊次線性方程組 0?AX 有非零解時，即 nrAr ??)( 時，就一定存在基 礎解系，且基礎解系中所含有線性無關解向量的個數為 rn? 求基礎解系與通解的方法是： 對方程組 0?AX 先由消元法，求出一般解，再把一般解寫成向量形式，即為方程組的通解，從中也能求出一個基礎解系 . 例 1 求?????????????????002230322432143214321xxxxxxxxxxxx 的通解 解：對系數矩陣 A，作初等行變換化成簡化階梯形矩陣： 122 1 2 3 1 0 3 4 1 0 3 43 2 1 2 1 1 1 1 0 1 4 51 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0A??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?行 (1)+2 行 行 (1)+3 行3 行 (1)+1 行 1 行 (1)+2 行 42)( ??Ar ，有非零解，取 43,xx 為自由未知量，可得一般解為??????????????4433432431,54,43xxxxxxxxxx 寫成向量形式，令 13 kx ? ， 24 kx ? 為任意常數，則通解為????????????????????????????????1054014321 kkX 可見，????????????????????????????????1054,014321 ?? 為方程組的一個基礎解系 . （四）非齊次線性方程組 1． 非齊次線性方程組與它對應的齊次線性方程組（即導出組）的解之間的關系 設 bAX? 為一個 n 元非齊次 線性方程組， 0?AX 為它的導出組，則它們的解之間有以下性質： 性質 1 如果 21,?? 是 bAX? 的解，則 21 ??? ?? 是 0?AX 的解 性質 2 如果 ? 是 bAX? 的解， ? 是 0?AX 的解 ，則 ??? 是 bAX? 的解 由這兩個性質，可以得到 bAX? 的解的結構定理： 定理 設 A 是 nm? 矩陣，且 rArbAr ?? )(),( ，則方程組 bAX? 的通解為 rnrnkkkX ??????? ???? ?2211* 其中 *? 為 bAX? 的任一個解（ 稱為特解） , rn???? , 21 ? 為導出組 0?AX 的一個基礎解系 . 2．求非齊次線性方程組的通解的方法 對非齊次線性方程組 bAX? ，由消元法求出其一般解，再把一般解改寫為向量形式，就得到方程組的通解 . 例 2 當參數 a， b 為何值時，線性方程組????????????????????????1232)3(122043214324324321axxxxbxxaxxxxxxxx 有唯一解？有