[高考]20xx年高考數學按章節分類第二章[數列]試題解析(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 nn ba baa ???? , *Nn? , (1)設nnn abb ??? 11 , *Nn? ,求證 :數列 2nnba??????????????是等差數列 。 (2)設nnn abb ??? 21 , *Nn? ,且 {}na 是等比數列 ,求 1a 和 1b 的值 . 31 ． （ 2022 年 高 考 （ 湖 南 理 ）） 已 知 數 列 {an} 的 各 項 均 為 正 數 , 記A(n)=a1+a2++an,B(n)=a2+a3++an+1,C(n)=a3+a4++an+2,n=1,2。 (1) 若 a1=1,a2=5,且對任意 n∈N ﹡ ,三個數 A(n),B(n),C(n)組成等差數列 ,求數列 { an }的通項公式 . (2) 證明 :數列 { an }是公比為 q 的等比數列的充分必要條件是 :對任意 Nn ?? ,三個數A(n),B(n),C(n)組成公比為 q的等比數列 . 32． （ 2022 年高考（湖北理）） 已知等差數列 {}na 前三項的和為 3? ,前三項的積為 8 . (Ⅰ) 求等差數列 {}na 的通項公式 。 (Ⅱ) 若 2a ,3a ,1a 成等比數列 ,求數列 {| |}na 的前 n 項和 . 23． （ 2022 年高考（廣東理）） 設數列 ??na 的前 n 項和為 nS ,滿足 112 2 1nnnSa ??? ? ?,n? *N ,且 1a 、 2 5a? 、 3a 成等差數列 . (Ⅰ) 求 1a 的值 。 (Ⅱ) 求數列 ??na 的通項公式 。 (Ⅲ) 證明 :對一切正整數 n ,有121 1 1 32na a a? ? ? ?. 34． （ 2022 年高考（大綱理）） (注意 :在試卷上作答無效 ． ． ． ． ． ． ． ． ) 函數 2( ) 2 3f x x x? ? ?. 定義數列 ??nx 如下 : 112, nxx?? 是過兩 點( 4 , 5 ), ( , ( ))n n nP Q x f x的直線 nPQ 與 x 軸交點的橫坐標 . (1)證明 : 123nnxx?? ? ? 。 (2)求數列 ??nx 的通項公式 . 35． （ 2022 年高考（北京理）） 設 A 是由 mn? 個實數組成的 m 行 n 列的數表，滿足：每個數的絕對值不大于 1，且所有數的和為零 .記 ( , )Smn 為所有這樣的數表構成的集合 . 對于 ( , )A S m n? ，記 ()irA為 A的第 i 行各數之和 1 im?? ， ()jcA為 A的第 j 列各數之和 1 jn??； 記 ()kA為 1| ( )|rA ， 2| ( )|rA，…， | ( )|mrA， 1| ( )|cA， 2| ( )|cA，…， | ( )|ncA中的最小值 . （ 1）對如下數表 A,求 ()kA的值； 1 1 1 （ 2）設數表 A= (2,3)S 形如 1 1 1 a b 1 求 ()kA的最大值； （ 3）給 定正整數 t ，對于所有的 A∈ S(2， 21t? ),求 ()kA的最大值。 36． （ 2022 年高考（安徽理）） 數列 {}nx 滿足 : 2*110 , ( )n n nx x x x c n N?? ? ? ? ? ? (I)證明 :數列 {}nx 是單調遞減數列的充分必要條件是 0c? (II)求 c 的取值范圍 ,使數列 {}nx 是單調遞增數列 . 參考答案 一、選擇題 1. 【答案】 B 【解析】 4 8 1 1 1( 3 ) ( 7 ) 2 10 ,a a a d a d a d? ? ? ? ? ? ? 2 10 1 1 1 2 10 4 8( ) ( 9 ) 2 1 0 , 1 6a a a d a d a d a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,故選 B 【點評】本題主要考查等差數列的通項公式、同時考查運算求解能力 ,屬于容易題 . 【答案】 B 【解析】在等差數列中 , 1 1 11 1 1 4 8 1 1 1 1 ( )1 6 , 8 82aaa a a a s ??? ? ? ? ? ? ?,答案為 B 【點評】本題主要考查等差數列的通項公式、性質及其前 n項和公式 ,同時考查運算求解能力 ,屬于中 檔題 .解答時利用等差數列的性質快速又準確 . 3. [答案 ]D [解析 ]∵ {}na 是公差不為 0的等差數列 ,且 1 2 7( ) ( ) ( ) 1 4f a f a f a? ? ???? ? ∴ 14]1)3[(]1)3[(]1)3[( 737232131 ????????????? aaaaaa ? ∴ 147)( 721 ???? aaa ? ∴ 21721 ??? aaa ? [點評 ]本小題考查的知識點較為綜合 ,既考查了高次函數的性質又考查了等差數列性質的應用 ,解決此類問題必須要敢于嘗試 ,并需要認真觀察其特點 . [答案 ]D [解析 ]∵ 數列 {an}是公差為 8? 的等差數列 ,且 1 2 5( ) ( ) ( ) 5f a f a f a ?? ? ???? ? ∴ ?5)c o sc o s( c o s2 521521 ???????? aaaaaa ?? ）（ ∴ ,0)c o sc o s( c o s 521 ???? aaa ? 即 ?5522 3521 ?????? aaaa ）（ ? 得 43,4,2513 ??? ??? aaa ∴ 23 1 3[ ( )]f a a a?? 1613163)c os2( 22251233 ??? ????? aaaa [點評 ]本題難度較大 ,綜合性很強 .突出考查了等差數列性質和三角函數性質的綜合使用 ,需考生加強知識系統、網絡化學習 . 另 外 , ,0)c o sc o s( c o s 521 ???? aaa ?隱蔽性較強 ,需要考生具備一定的觀察能力 . 5. [解析 ] 令 ???7 ,則 ?? nn ?7 ,當 1≤ n≤14 時 ,畫出角序列 n?終邊如圖 , 其終邊兩兩關于 x 軸對稱 ,故有 1221 , SSS ? 均為正數 , 而 01413 ??SS ,由周期性可知 ,當 14k13≤ n≤14 k時 ,Sn0, x y ? 2? 3? 4? 6? 5? 8? 9? 13? 12? 11? 10? 7? 14? 而 014114 ??? kk SS ,其中 k=1,2,7,所以在 10021 , SSS ? 中有 14 個為 0,其余 都是正數 ,即正數共有 10014=86個 ,選 C. [解析 ] 對于 1≤ k≤25, ak≥0( 唯 a25=0),所以 Sk(1≤ k≤25) 都為正數 . 當 26≤ k≤49 時 ,令 ???25 ,則 ?? kk ?25 ,畫出 k?終邊如右 , 其終邊兩 兩關于 x 軸對稱 ,即有 )50s in (s in ?? kk ??? , 所以 ?sin11?kS + ?2sin21 ++ ?23sin231 + ?24sin241 +0 + ?26sin261 + ?27sin271 + ?kksin1 = ?sin11 + ?2sin21 ++ ?24sin)( 261241 ? + ?23sin)( 271231 ? + + ?)50sin ()( 150 1 kkk ??? ,其中 k=26,27,49,此時 kk ??? 500 , 所以 01501 ??? kk ,又 ??? ???? 24)50(0 k ,所以 0)50sin( ?? ?k , 從而當 k=26,27,49時 ,Sk都是正數 ,S50=S49+a50=S49+0=S490. 對于 k從 51 到 100的情況同上可知 Sk都是正數 . 綜上 ,可選 D. [評注 ] 本題中數列難于求和 ,可通過數列中項的正、負匹配來分析 Sk 的符號 ,為此 ,需借助分類討論、數形結合、先局部再整體等數學思想 .而重中之重 ,是看清楚角序列的終邊的對稱性 ,此為攻 題之關鍵 . 7. 【命題意圖】本題主要考查靈活運用數列知識求數列問題能力 ,是難題 . 【解析】【法 1】有題設知 21aa? =1,① 32aa? =3 ② 43aa? =5 ③ 54aa? =7, 65aa? =9, 76aa? =11, 87aa? =13, 98aa? =15, 10 9aa? =17, 11 10aa? =19, 12 11 21aa??, ∴② ① 得 13aa? =2,③+② 得 42aa? =8, 同 理 可 得57aa? =2, 68aa? =24, 9 11aa? =2, 10 12aa? =40, ∴ 13aa? , 57aa? , 9 11aa? ,是各項均為 2 的常數列 , 24aa? , 68aa? , 10 12aa? ,是首項為 8,公差為 16的等差數列 , ∴{ na }的前 60 項和為 11 5 2 1 5 8 1 6 1 5 1 42? ? ? ? ? ? ?=1830. 【法 2】可證明 : 1 4 1 4 2 4 3 4 4 4 3 4 2 4 2 4 1 6 1 6n n n n n n n n n nb a a a a a a a a b? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 2 3 4 1 5 1 5 1 41 0 1 0 1 5 1 6 1 8 3 02b a a a a S ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8. 【答案】 B x y ? 2? 12? 13? ? 24? 23? 26? 27? 49? 48? 38? 37? ? ? ? 【解析】本題主要為數列的應用題 ,觀察可得不同整數解的個數可以構成一個首先為 4,公差為 4的等差數列 ,則所求為第 20項 ,可計算得結果 . 9. C 【解析】設數列 ??na的公比為 q .對于 ①, 2 2112()()nnf a a qf a a????,是常數 ,故 ① 符合條件 。對于 ②, 111() 2 2( ) 2 n nnna aananfafa? ? ?? ??, 不 是 常 數 , 故 ② 不符合條件 。 對于③, 11 ||()() ||nnn nafafa a?? ? 1nna qa???,是常數 ,故 ③ 符合條件 。對于 ④, 11( ) ln | |( ) ln | |nnf a af a a??? ,不是常數 ,故 ④ 不符合條件 .由 “ 保等比數列函數 ” 的定義知應選 C. 【點評】 本題考查等比數列的新應用 ,函數的概念 .對于創新性問題 ,首先要讀懂題意 ,然后再去利用定義求解 ,抓住實質是關鍵 .來年需要注意 數列的通項 ,等比中項的性質等 . 10. 【答案】 A 【解析】由 cos 2n nan ??,可得 2022 1 0 2 1 3 0 4 1 2 0 1 2 1S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 4 6 2022 2022 2 503 1006? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【考點定位】本題主要考察數列的項、前 n 項和 ,考查數列求和能力 ,此類問題關鍵是并項求和 . 11. 答案 B 【命題意圖】本試題主要考查了數列中由遞推公式求通項公式和數列求和的綜合運用 . 【解析】由 12nnSa?? 可知 ,當 1n? 時得211122aS?? 當 2n? 時 ,有 12nnSa?? ① 1 2nnSa? ? ② ① ② 可得 122n n na a a???即1 32nnaa? ?,故該數列是從第二項起以 12 為首項 ,以 32 為公比的等比數列 ,故數列通項公式為2113()22n na ???????( 1)( 2)nn??, 故當 2n? 時 ,1113(1 ( ) )3221 ( )3 212nnnS???? ? ?? 當 1n? 時 , 111 31 ( )2S ???,故選答案 B 12. 【答案】 C 【解析 】由圖可知 6,7,8,9這幾年增長最快 ,超過平均值 ,所以應該加入 ,因此選 C. 【考點定位】 本小題知識點考查很靈活 ,要根據圖像識別看出變化趨勢 ,判斷變化速度可以用導數來解 ,當然此題若利用數學估計過于復雜 ,最好從感覺出發 ,由于目的是使平均產量最高 ,就需要隨著 n 的增大 , nS 變化超過平均值的加入 ,隨著 n 增大 , nS 變化不足平均值 ,故舍去 . 13. 【答案】 B 【解析】當 1 0, 0aq??時 ,可知 1 3 20, 0, 0a a a? ? ?,所以 A選項錯誤 。當 1q?? 時 ,C選項錯誤 。當 0q? 時 , 3 2 3 1 4 2a