n階行列式ppt課件(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 32 ) 1? ?( 12 3 ) ( 23 1 ) ( 31 2 )11 22 33 12 23 31 13 21 32( 1 ) ( 1 ) ( 1 )a a a a a a a a a? ? ?? ? ? ? ? ?( 32 1 ) ( 21 3 ) ( 13 2 )13 22 31 12 21 33 11 23 32( 1 ) ( 1 ) ( 1 )a a a a a a a a a? ? ?? ? ? ? ? ?13 22 31 12 21 33 11 23 32a a a a a a a a a? ? ?1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 21 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2a a a a a a a a aa a a a a a a a a? ? ?? ? ?1 2 31 2 31 2 3()1 2 3()( 1 ) .p p p p p pp p pa a a????11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a1 2 31 2 31 2 3()1 2 3()( 1 ) .p p p p p pp p pa a a???? n 階行列式的定義 12122()1211 12 121 22 212( 1 ) .nnp p pp p npnnn n nnnnna a aa a aa a aDa a a????由 個 數 組 成 的 階 行 列 式 等 于 所 有取 自 不 同 行 不 同 列 的 個 元 素 的 乘 積的 代 數 和記 作定義 ).d e t ( ija簡記作 的元素．稱為行列式數 )d e t ( ijij aa121212()nnp p p np p p?其 中 為 自 然 數 ， ， ， 的 一 個 排 列 ，為 這 個 排 列 的 逆 序 數 ．? ?? ?12121211 12 121 22 212121nnnnnn n n np p pp p n pp p pa a aa a aDa a aa a a?????說 明 行列式是一種特定的算式，它是根據求解方程個數和未知量個數相同的線性方程組的需要而定義的 。 階行列式是 項的代數和 。 n !n 階行列式的每項都是位于不同行、不同列 個元素的乘積 。如 nn 的符號為 nnppp aaa ?21 21 12()( 1 ) np p p??項。就不是三階行列式中的332312 aaa 一階行列式 不要與絕對值記號相混淆 。 aa ?例 選擇 i 和 k ，使 53254321 aaaaa ki成為 5階行列式中一個帶負號的項 解 其列標所構成的排列為： i 5 2 k 3 若取 i = 1， k ＝ 4， 故 i = 4， k = 1 時該項帶負號。 可將給定的項改為行標按自然順序，即 53432251 aaaaa ki則 ? (1 5 2 4 3) = 4，是 偶排列 ， 該項則帶正號， 對換 1， 4的位置， 則 4 5 2 1 3是 奇排列 。 定理 121 1 2 2( . . . ) ( . . . )12( 1 ) ...nnnp p p q q q np q p q p qD a a a?? ?? ? ?1 2 1 2.. . .. .nnp p p q q q n其 中 和 都 是 級 排 列 。對 n級行列式 ? ?121212( . . . )12...( 1 ) . . .nnnp p pp p p np p pD a a a????ijaD ? ,有 推論 對 n級行列式 ijaD ? ,有 證明： 將 重排，使其行標成為自然順序 , 行標，列標同時作了一次對換，總逆序數之和不改變奇偶性。 返回 上一頁 下一頁 ? ?12121211 12 1()21 22 212()121nnnni i ini i i ni i in n nna a aa a aD a a aa a a?? ? ?? 階行列式也可定義為 n其中 為行排列 的逆序數 . 12 ni i i12()ni i i? 參見 P8：等價定義形式一 ? ? 1 2 1 21 1 2 21212( ) ( )()()1 nnnnnni i i j j ji j i j i ji i ij j jD a a a?? ??? ?該項 的符號由行排列和列排列的逆序 1 1 2 2 nni j i j i ja a a1 2 1 2( ) ( )nni i i j j j?? ?數之和 決定。 1 2 1 2( ) , ( )nni i i j j j是兩個 n級排列。 其中， 階行列式還可定義為 n 參見 P8：等價定義形式二 例 1 計算對角行列式 0004003002001000分析 展開式中項的一般形式是 1 2 3 41 2 3 4() 1 2 3 4( 1 ) p p p p p p p pa a a a??41 ?p若 ,011 ?? pa 從而這個項為零， 所以 只能等于 , 1p 4 同理可得 1,2,3 432 ??? ppp解 0004003002001000? ? ? ? 43211 4 3 2 1 ????? ? .24?即行列式中不為零的項為 .aaaa 41322314n????21? ? ? ? .1 212 1 nnn ??? ????。21 n??? ??n????21一般地，對角行列式 n????21? ? ? ?? ? 11,212111 nnnnn aaa ?? ???? ?? ? ? ? .1 212 1 nnn ??? ????證明 第一式是顯然的 ,下面證第二式 . 若記 ,1, ??? inii a? 則依行列式定義 11,21nnnaaa???證畢 例 2 計算上三角行列式 nnnnaaaaaa??????????00022211211分 析 展開式中項的一般形式是 112( . . . ) 12( 1 ) .nnpp p p n pa a a??所以不為零的項只有 .2211 nnaaa ?nnnnaaaaaa??????????00022211211?? ? ? ? nnn aaa ?? 2211121 ???.2211 nnaaa?解 例 3 ?8000650012404321??D443322118000650012404321aaaaD ??.1608541 ?????同理可得下三角行列式 nnnnnaaaaaaa???????????32122211100000.2211 nnaaa ??主對角線以上的元素全為零（即 ij時元素 aij＝ 0）的行列式稱為 下三角行列式 ，它等于主對角線上各元素的乘積。 行列式中，從左上角到右下角的直線稱 為主對角線 。 主對角線以下的元素全為 0（即 ij時元素 aij＝ 0）的行列式稱為 上三角行列式 ，它等于主對角線上各元素的乘積。 行列式中 ， 除對角線上的元素以外 ， 其他元素全為零 （ 即 i≠j時元素 aij＝ 0） 的行列式稱為 對角行列式 ，它等于對角線上元素的乘積 。 返回 上一頁 下一頁 練習： ． ? ?0 1 0 0 0 00 0 2 0 0 01 . 。0 0 0 0 0 10 0 0 0 0nn?? ?1 1 1 1 12 2 2 1 13344550 0 020 0 00 0 0..a b c d ea b c d eababab解答： ． ? ?0 1 0 0 0 00 0 2 0 0 01 . 。0 0 0 0 0 10 0 0 0 0nn?解： (1) 根據行列式的定義， nD 中的一般項為 ? ? ? ?12 12121,n nj j j j j n ja a a??其中，僅當 1