畢業論文-基于matlab的iir數字濾波器的設計與仿真(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 術指標設計過渡模擬低通濾波器。 (4)用所選的轉換方法，將模擬濾波器 )(sHa 轉換成數字低通濾波器系統函數 )(zH 。 IIR數字濾波器的設計 流程圖如下： 圖 IIR數字濾波器的設計步驟流程圖 成熟的 數字 濾波器設計方法主要有脈沖響應不變法和雙線性變換法。 用脈沖相應不變法設 計 IIR 數字濾波器 一 設計原理 利用模擬濾波器來設計數字濾波器，也就是使數字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，這種模仿可以從不同的角度出發。脈沖響應不變法是從濾波器的脈沖響應出發，使數字濾波器的單位脈沖響應序列 h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應ha(t)，即將 ha(t)進行等間隔采樣，使 h(n)正好等于 ha(t)的采樣值，滿足)(ZfS? 數字濾波器 技術指標 模擬濾波器 技術指標 數字濾波器 )(ZH 模 擬 濾 波 器 )(SHa 模擬濾波器 設計方法 變換 )(?g?? 變換 西北工業大學明德學院本科畢業設計論文 14 h(n)=ha(nT)，式中 T是采樣周期。 如果令 Ha(s)是 ha(t)的拉普拉斯變換， H(z)為 h(n)的 Z 變換，利用采樣序列的 Z變換與模擬信號的拉普拉斯變換的關系得 ?? ????????? ?????? ????? k ak sagz kTjsXTjksXTzX xT ?21)(1|)( () 則可看出，脈沖響應不變法將模擬濾波器的 S平面變換成數字濾波器的 Z平面，這個從 s到 z的變換 z=esT是從 S平面變換到 Z平面的標準變換關系式。 j?3 ?? / T?? / T－ 3?? / T－ ?? / To o? － 1 1jI m [ z ]R e [ z ]Z 平面S 平面 圖 脈沖響應不變法的映射關系 由（ ）式，數字濾波器的頻率響應和模擬濾波器的頻率響應間的關系為 ????? ?????? ??k aj T kjHTeH ??? 21)( () 這就是說，數字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓。正如采 樣定理所討論的，只有當模擬濾波器的頻率響應是限帶的，且帶限于折疊頻率以內時，即 0)( ??jHa 2sT ???? ? () 才能使數字濾波器的頻率響應在折疊頻率以內重現模擬濾波器的頻率響應，而不產生混疊失真，即 ??????? TjHTeH ae j ?? 1)( ??? () 西北工業大學明德學院本科畢業設計論文 15 但是，任何一個實 際的模擬濾波器頻率響應都不是嚴格限帶的， 變換后就會產生周期延拓分量的頻譜交疊，即產生頻率響應的混疊失真 。 這時數字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響 ，而帶有一定的失真。當模擬濾波器的頻率響應在折疊頻率以上處衰減越大、越快時，變換后頻率響應混疊失真就越小。這時，采用脈沖響應不變法設計的數字濾波器才能得到良好的效果。 － 3? － 2?… …)j(aΩH?oo－ ? 2 ? 3 ?? ? ＝ ? ? T)(ej ?HTπ2TπTπTπ2－ 圖 對某一模擬濾波器的單位沖激響應 ha(t)進行采樣，采樣頻率為 fs，若使 fs增加，即令采樣時間間隔（ T=1/fs）減小，則系統頻率響應各周期延拓分量 之間相距更遠，因而可減小頻率響應的混疊效應。 二 脈沖響應不變法的優點 從以上討論可以看出，脈沖響應不變法使得數字濾波器的單位脈沖響應完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應，也就是時域逼近良好，而且模擬頻率Ω和數字頻率ω之間呈線性關系 ω =Ω T。因而，一個線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過脈沖響應不變法得到的仍然是一個線性相位的數字濾波器。 脈沖響應不變法的最大缺點是有頻率響應的混疊效應。所以，脈沖響應不變法只適用于限帶的模擬濾波器 (例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器 )，而且高頻衰減越快，混疊效應越 小。至于高通和帶阻濾波器，由于它們在高頻部分不西北工業大學明德學院本科畢業設計論文 16 衰減，因此將完全混淆在低頻響應中。如果要對高通和帶阻濾波器采用脈沖響應不變法，就必須先對高通和帶阻濾波器加一保護濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再使用脈沖響應不變法轉換為數字濾波器。當然這樣會進一步增加設計復雜性和濾波器的階數。 雙線性變換法設計 IIR 數字濾波器 一 設計原理 脈沖響應不變法的主要缺點是產生頻率響應的混疊失真。這是因為從 S平面到Ｚ平面是多值的映射關系所造成的。為了克服這一缺點，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率 范圍壓縮到 π /T～π /T 之間，再用 z=esT 轉換到 Z平面上。也就是說，第一步先將整個 S平面壓縮映射到 S1平面的 π /T～π /T 一條橫帶里；第二步再通過標準變換關系 z=es1T將此橫帶變換到整個 Z 平面上去。這樣就使 S 平面與 Z平面建立了一一對應的單值關系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現象，映射關系如圖 。 o－ 1 1Z 平面jI m [ z ]R e [ z ]?? / Tj?1?1－ ?? / TS1平面S 平面j?? o o 圖 為了將 S平面的整個虛軸 jΩ 壓縮到 S1平面 jΩ 1軸上的 π /T到π /T段上，可以通過以下的正切變換實現 西北工業大學明德學院本科畢業設計論文 17 ????????? 2tan2 1TT () 式中 ,T仍是采樣間隔。 當 Ω 1 由 π /T 經過 0 變化到 π /T 時， Ω 由 ∞經過 0 變化到 +∞，也即映射了整個 jΩ 軸。將式（ 26）寫成 2/2/2/2/11TjTjTjTjeeeeTj ????????? () 將此關系解析延拓到整個 S平面和 S1平面，令 jΩ =s， jΩ 1=s1，則得 TsTsTsTsTsTsiiiiieeTTsTee eeTs ????????????????? a 112/2/2/2/ () 再將 S1平面通過以下標準變換關系映射到 Z平面 Tsez 1? () 從而得到 S平面和 Z平面的單值映射關系為： 11112????? zzTs () sTsTsTsTz?????? 222121 () 式（ ）與式（ ）是 S平面與 Z平面之間的單值映射關系，這種變換都是兩個線性函數之比，因此稱為雙線性變換 式（ ）與式（ 要求。 首先 ,把 z=ejω ，可得 ???????????? ?? jTjeeTs jj 2t a n2112 ??? （ ） 即 S平面的虛軸映射到 Z平面的單位圓。 其次，將 s=σ +jΩ 代入式（ 212），得 ???????jTjTz??22 （ ） 西北工業大學明德學院本科畢業設計論文 18 因此 222222???????? ????????? ????TTz （ ） 由此看出，當 σ 0 時， |z|1；當 σ 0 時， |z|1。也就是說， S 平面的左半平面映射到 Z平面的單 位圓內， S平面的右半平面映射到 Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到 Z平面的單位圓上。因此，穩定的模擬濾波器經雙線性變換后所得的數字濾波器也一定是穩定的。 二 雙線性變換法優缺點 雙線性變換法與脈沖響應不變法相比，其主要的優點是避免了頻率響應的混疊現象。這是因為 S 平面與 Z 平面是單值的一一對應關系。 S 平面整個 jΩ 軸單值地對應于 Z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關系。這個關系如式（ ）所示，重寫如下： ???????? 2tan2 ?T （ ） 上式表明， S平面上 Ω 與 Z平面的 ω 成非線性的正切關系，如圖 。 由圖 ，在零頻率附近，模擬角頻率Ω與數字頻率ω之間的變換關系接近于線性關系；但當 Ω 進一步增加時， ω 增長得越來越慢，最后當 Ω →∞時，ω 終止在折疊頻率 ω =π處，因而雙線性變換就不會出現由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現象，從而消除了頻率混疊現象。 圖 ?－ ? ?o? ?2t a n2 ?T? ＝西北工業大學明德學院本科畢業設計論文 19 但是雙線性變換的這個特點是靠頻率的嚴重非線性關系而得到的，如式（ ）及圖 。由于這種頻率之間的非線性 變換關系，就產生了新的問題。首先，一個線性相位的模擬濾波器經雙線性變換后得到非線性相位的數字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關系要求模擬濾波器的幅頻響應必須是分段常數型的，即某一頻率段的幅頻響應近似等于某一常數（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應特性），不然變換所產生的數字濾波器幅頻響應相對于原模擬濾波器的幅頻響應會有畸變，如圖 所示 : ?o ?oo??)j(a ΩH)(ej ?H? ???ooo)](ea r g [j ?H)]j(a r g [ a ΩH 圖 對于分段常數的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數的濾波器，但是各 個分段邊緣的臨界頻率點產生了畸變，這種頻率的畸變，可以通過頻率的預畸 變 來加以校正。也就是將臨界 模擬頻率事先加以畸變，然后經變換后正好映射到所需要的數字頻率上 。西北工業大學明德學院本科畢業設計論文 20 第 4 章 IIR 數字濾波器的實現 利用 MATLAB設計濾波器 ,可以按照設計要求非常方便地調整設計參數 ,極大地減輕了設計的工作量 ,有利于濾波器設計的最優化 。 MATLAB因其強大的數據處理功能被廣泛應用于工程計算 ,其豐富的工具箱為工程計算提供了便利 ,利用MATLAB信號處理工具箱可以快速有效地設計各種數字濾波器 ,設計簡單方便。 MATLAB 簡介 MATLAB 的概況 MATLAB是矩陣實驗室（ Matrix Laboratory）之意。除具備卓越的數值計算能力外，它還提供了專業水平的符號計算，文字處理，可視化建模仿真和實時控制等功能。 MATLAB的基本數據單位是矩陣，它的指令表達式與數學 ,工程中常用的形式十分相似 ,故用 MATLAB來解算問題要比用 C,FORTRAN等語言完 成 相同的事情簡捷得多 . MATLAB 擁有數百個內部函數的主包和三十幾種工具包 (Toolbox).工具包又可以分為功能性工具包和學科工具包 .功能工具包用來擴充 MATLAB 的符號計算 ,可視化建模仿真 ,文字處理及實時控制等功能 .學科工具包是專業性比較強的工具包 ,控制工具包 ,信號處理工具包 ,通信工具包等都屬于此類 . 開放性使 MATLAB廣受用戶歡迎 .除內部函數外 ,所有 MATLAB主包文件和各種工具包都是可讀可修改的文件 ,用戶通過對源程序的修改或加入自己編寫程序構造新的專用工具包 . MATLAB 的語言特點 MATLAB 最突出的特點就是簡潔。 MATLAB 用更直觀的，符合人們思維習慣的西北工業大學明德學院本科畢業設計論文 21 代碼，代替了 C 和 FORTRAN 語言的冗長代碼。 MATLAB 給用戶帶來的是最直觀，最簡潔的 程序開發環境。以下簡單介紹一下 MATLAB的主要特點： （ 1） 語言簡潔緊湊，使用方便靈活，庫函數極其豐富。 MATLAB 程序書寫形式自由，利用起豐富的庫函數避開繁雜的子程序編程任務，壓縮了一切不必要的編程工作。由于庫函數都由本領域的專家編寫，用戶不必擔心函數的可靠性?？梢哉f，用 MATLAB進行科技開發是站在專家的肩膀上。 （ 2） 運算符豐富。由于 MATLAB 是用 C 語言編寫的， MATLAB 提供了和 C 語言幾乎一樣多的運算符，靈活使用 MATLAB的運算符將使程序變得極為簡短。 （ 3） MATLAB 既具有結構化的控制語句 （如 for 循環， while 循環， break語句和 if語句），又