機械設計仿真軟ppt課件(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 面 ，它也是以 O為頂點的錐面，簡稱 動錐 。 剛體繞定點轉動的過程 剛體繞定點轉動的過程可以看成是 一系列以角速度ω i繞瞬時轉動軸轉動的合成 。 也 可以說，剛體做定點轉動時，動瞬時錐面在靜瞬時錐面上以角速度 ω(t)作無滑動的滾動，見圖 3—2。 定點轉動剛體上點的速度和加速度 當剛體相對某動參考系以 ω 1轉動．而此動參考系又以 ω 2相對定參考系轉動，則剛體的運動可以看成繞某個 OC軸以角速度 ω＝ ω1十 ω2作轉動， OC即為 ω的方向。這就是說，剛體繞相交軸轉動合成時，角速度的合成服從向量加法。 設剛體的瞬時角速度為 ω， 則剛體上相對定點的向徑為r的點的速度為 rωrv ??? dtd() () vωrεdtdva ?????其中， 為剛體的角加速度； 稱為轉動加速度； 稱為向心加速度。 dtdωε ? rεa t ??navω ??3． 2 描述剛體定點轉動的解析法 上一節的討論實際上是剛體定點轉動的一種簡單的、幾何的、定性的描述，本節詳細介紹剛體定點轉動的定量的描述。 ?剛剛體定點轉動的方向余弦描述 ?剛剛體定點轉動的歐拉角描述 ?剛剛體定點轉動的廣義歐拉角描述 圖 33 i和 j 坐標系 (1)方向余弦矩陣 假設以參考空間某一點 O為原點，有兩個笛卡爾直角坐標系 oξεδ (簡稱 i系 )和 oxyz(簡稱 j系 )， 各坐標軸之間夾角的余弦值構成了一個方向余弦矩陣 A，它可以表示兩坐標系之間的 空間關系 。 圖 33 i和 j 坐標系 兩坐標系之間的 空間關系 如果以 j系為參考系， i系是由 j系繞 O點轉動后的結果；同理，如果以 i系為參考系， j系是由 i系繞 O點轉動后的結果 . )( ji ee ??ji A)( ijij A ee ??i相對 j系的方向余弦矩陣 j相對 i系的方向余弦矩陣 zyxji,?? ???????????????????????zyxzyxzyxjieeeeeeeeeeeeeeeeeeA???????????? x y z ?????????????????????????????eeeeeeeeeeeeeeeeezyxAzzzyyyxxxij ξ η ζ 展開： 兩矩陣之間的 關系 ?????????????????????????????????321321321)(nnnmmmllleeeeeeeeeeeeeeeeeeAzyxzyxzyxji?????????ji ee?????????????????????????????????333222111)(nmlnmlnmleeeeeeeeeeeeeeeeeeAzzzyyyxxxij?????????ij ee它們是兩個正交矩陣，即 Tjijiij AAA )()( 1 ?? ?矢量 Q在不同空間中的表達和轉換 假設在 j系和 i系的原點有一 空間向量 Q(見圖 33)。用 Qi＝ (Qξ ， Qλ ， Qζ )’表示 Q在 i系中的位置，用 Qj＝ (Qx， Qy， Qz)表示 Q在 j系中的位置 ,則 Qj可用 Qi來表示為 ?????????QnQmQlnQmQlnQmQlQzyx333222111????????? 三個分量在某軸上的投影之和 iijzyxj QAQnmlnmlnml ????????????????????????????????????333222111其中 l m n1分別為 j系的 x軸與 i系的 ξ 、 η 、 ζ三個軸夾角的余弦值。其余類推。 矩陣形式： 同理 ， Qi可用 Qj來表示為 jjii QAQ ?() 圖 33 i和 j 坐標系 例 例 3． 1 設在慣性空間有一固定不動的向量 Q，在 i系中的位置為ri＝ (0， 1， 0)T．當坐標系統 ξ軸轉動 90176。 之后得到 j系 oxyz(見圖34)．求 Q在 j系中的位置 rj。 圖 34 解：因為 j系相對 i系的方向余弦矩陣 ???????????????????????010100001333222111nmlnmlnmlA ij???????????????????????????????????100010010100001iijj rAr圖 35 例 例 3． 2 在上例中，若 Q與 j系固連，當 j系從與 i系重合狀態繞ξ 軸正向轉動 90176。 后，求 Q在 i系中的位置 ri(見圖 35)。 解：因 Q與 j系固連 ， 所以 rj＝ (0， 1， 0)T 由上例已知， j系繞 ξ 軸正向轉動 90176。 之后， 也意味著 i系繞 x軸負向轉動 90176。 ，即 ????????????010100001ij A????????????010100001ji A??????????????????????????????????100010010100001jjii rAr分析結論 由上面的例子可以看出，剛體作定點轉動時，如果我們在定點 O建立兩個坐標系 :一個為慣性參考系即 定參考系 ，以下簡稱 定系 ；另一個為與剛體固連的坐標，即 動坐標系 ，以下簡稱 動系 ，那么． 剛體的空間位置可以通過兩個坐標之間的方向余弦矩陣來描述 。由于方向余弦矩陣 9個元素中只有 3個是獨立的，因此， 剛體定點轉動具有 3個自由度 。 圖 36 定點轉動的剛體坐標系 (2)連續轉動的合成 根據前面的討論，剛體的每次轉動都可以用后次相對前次的坐標變換即 方向余弦 來描述，那么多次轉動的合成如何用 方向余弦矩陣 來描述？ 用 Q表示剛體，假設開始時動系 oxyz與定系 oξ ε δ 重合，剛體第一次轉動之后動系為ox1y1z1 (1系 )，第二次轉動之后動系為 ox2y2z2 (2系 )， Q相對定系為 ro，相對 1系為 r1；相對 2系為 r2， 1系相對定系、 2系相對1系的方向余弦矩陣分別為 1A0和 2A1， 圖 37 剛體的連續轉動 連續轉動矩陣 0011 rAr ? 1122 rAr ? 002022122 rrr AAA ??011202 AAA ? 211020 AAA ?2A0表示 2系相對定系的空間關系， 0A2表示定系相對 2系的空間關系。 由此可見， 若把剛體 (動系 )的每次繞定點的有限轉動視為動系的一次坐標變換，則剛體兩次有限轉動時，其合成轉動的方向余弦矩陣為兩次分轉動的方向余弦矩陣的順次乘積。多次轉動也具有同樣的變換規律 。 例 3． 3 空間中一固定不動的向量 Q，在定系 oξεδ中為 r0＝ (0,1,0)T。動系 0xyz開始時與定系重合。 第一次 繞 ξ軸轉 90176。 ，得到動系 ox1y1z1； 第二次 接著繞 y1軸轉 90176。 ，得到動系 ox2y2z2。求合成轉動的 方向余弦矩陣 2A0，并求 Q在 ox2y2z2中的位置 (見圖 38)。 圖 38 例 解： 由兩次給定的轉動 ， 可以求得 ox1y1z1系相對定系和 ox2y2z2系相對 ox1y1z1系的方向余弦矩陣分別為 ????????????01010000101 A?????????? ??00101010012 A???????????????????????????????? ???001100010010100001001010100011202 AAA?????????????????????????????????0010100011000100022 rr AQ在 ox2y2z2中得位置 r2 需要強調的是，剛體連續轉動時，其 方向余弦矩陣的合成與轉動的順序是有關的 。也就是說，在一般情況下，順序是不可交換的，即 B1B2≠B 2Bl 三次連續轉動 假設： 第一次繞 x軸轉過 α 角， 第二次繞 y1軸轉過 β 角， 第三次繞 z2軸轉過 γ 角 每次動系相對前一次動系 的變換矩陣： 考慮更一般的情況，具有固定點的剛體作 三次連續轉動 ?????????????????csscA00001?????????????????csscA00100????????????10000????? csscA三次合成的結果 A 角度 (如 α 角 )的正弦和余弦記為 sα 和 cα 繞動系坐標軸轉動的三次合成 ??????????????????????????????????????????????????cccssssccssssccsccscsscssscccAAAA以上討論的三次轉動都是 繞動系的當時坐標軸即 “ 體軸 ” 進行的。如果轉動是 繞定系的坐標軸 即參考軸進行的，結果會是什么樣的呢 ? 繞靜系坐標軸轉動的二次合成 繞靜系坐標軸轉動的二次合成 為了使討論簡單又能得到明確的結論，僅考慮兩次對應的轉動，即 動系第一次繞 ξ 軸轉過 α 角 ， 第二次繞 ε 軸轉過 β 角 。假使這兩次轉動后動系對定系的方向余弦矩陣分別用 A A2表示 。 ?AA ?1?? AAAA ?21顯然有 因為 x軸與 ξ 軸重合 ?AA ?2然而 ?? AAAA ?12所以 但是，利用 有限轉動的交換定理 ，即所謂 相對變換 ，則有 有限轉動的交換定理 也就是說 ， 動系先繞定系 ε 軸轉過 β 角 ， 再繞定系 ξ 軸轉過 α 角 ， 其結果與動系先繞 x軸轉過 α 角 ， 再繞 y1軸轉過 β 角所得最終動系相對定系的位置是相同的 ， 見圖311。 (3)角速度 由前面的討論可以看到 ， 剛體作定點轉動時 ， 如果坐標系之間的方向余弦矩陣是時間的函數 ， 亦即 A＝ A(t)， 那么 ， 可以用 A及其導數 描述剛體定點轉動的 運動學規律 。 0011 rr A? 1100 rr A?將上式對時間微分，有 1101100 rrr ??? AA ??由于 r1是常矢量 ，故 01 ?r?1100 rr A?? ? 假設 Q是位于定點轉動的剛體上的、由定點發出的一個向量，那么在轉動過程中