量子力學基礎ppt課件(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 rrd s i n2?第一章 量子力學基礎 則算符 稱為線性算符。 若算符 作用在任意兩個函數 和 的代數和 [ + ]上的結果等于這一算符 分別作用在 和 上的代數和 + 上，即 ?A 2()ux1()ux2()ux1()ux2()ux1()ux2()ux1()ux?A?A? ? )(A?)(A?)()(A? 22112211 xucxucxucxuc ???2. 線性算符 ddx x??算符 和 都是線性的， Sin, log 和 不是線性算符 第一章 量子力學基礎 3. 厄米算符（自軛算符） 如果算符 對于任意函數 下式成立 就稱算符 為厄米算符 ?A?? ?? ?AAdd? ? ? ? ? ??? ????A例 1：乘號“ ?”為厄米算符。 第一章 量子力學基礎 4. 線性厄米算符 如果一個算符即是線性的又是厄米的，則這個算符就是線性厄米算符。 微觀體系中任何一個力學量對應的算符都是線性厄米算符 —— 量子力學基本假定之二。 第一章 量子力學基礎 5. 算符的運算規則 (1) 算符的相等： 若 ，則 )(B?)(A? xuxu ? B?A? ?(2) 算符的加法：滿足交換律和結合律 若 則 若 則 )(B?)(A?)(C? xuxuxu ?? B?A?C? ??C?B?A?F? ??? ? ? ? ?C?B?A?C?B?A?F? ??????(3) 算符的乘法：一般不滿足交換律 若 ，則 ，而 。 ? ?)(B?A?)(C? xuxu ? B?A?C? ?? A?A?A? 2 ?。一般情況下不等于 A?B?B?A?第一章 量子力學基礎 算符的對易關系： ? ?A?B?B?A? ? 稱為算符對易關系中的對易子，用 表示。 ? ?B?,A?? ? ? ? 算符的對易關系式；—常數）(A?B?B?A?B?,A? c???? ? ? ? 可相互對易；則—若 B?,A?0A?B?B?A?B?,A? ???? ? ? ? 不可相互對易則—若 B?,A?0A?B?B?A?B?,A? ???? ? 0)(?)(?,? ????? ?ixuPxxxuPxP xxx例如： 所以 不能相互對易。和 xP x?第一章 量子力學基礎 三、本征態、本征值和 Schr246。dinger方程 1. 本征函數的正交性及歸一性 假設 Ⅲ ：若某一力學量 A的算符 作用于某一狀態函數 Ψ后， 等于某一常數 a 乘以 Ψ ，即 Ψ= aΨ ，那么對于 Ψ 所描述的這樣一個微觀體系的狀態，其力學量 A具 有確定的數值 a ， a 就稱為力學量算符 的本征值， Ψ稱為 的本征態或本征函數； Ψ= aΨ 稱為 的本征方程。 A?A?A?A? A? A?若： ，則函數 Ψ1(x)和 Ψ2(x)彼此正交。 0)( )( 2*1 ??? dxxΨxΨ第一章 量子力學基礎 本征函數正交性定理 Ⅰ ： 屬于同一厄米算符 的不同本征值 am和 an的本征函數 Ψm和 Ψn彼此正交。（即， 為厄米算符， Ψm 和 Ψn為 2 個不同本征函數， am和 an為 2個與 Ψm 和 Ψn相對應的本 征值，則 ）。而厄米算符的本征值一 定為實數。 0)( )( 2*1 ??? dxxΨxΨA?A?本征函數正交性定理 Ⅱ ： 屬于同一厄米算符 相同本征值 an的不同本征函數系列 {Ψn1， Ψn2， …… ， Ψnf}任意線性組合為 Ψn=c1Ψn1+c2Ψn2+ …+ cfΨnf后， Ψn仍然是 屬于同一本征值 an的本征函數。 A?A?第一章 量子力學基礎 2. 本征函數的完備系列 A? Ψn1= aΨn1 A? Ψn2= aΨn2 A? Ψnf= aΨnf A? Ψn= aΨn， 其中 Ψn=c1Ψn1+c2Ψn2+…+ cfΨnf 若： ，則函數 Ψ1(x)和 Ψ2(x)彼此正交。 1)( )( ii n*n ??? dxxΨxΨ 有相同定義域和相同自變量，并滿足邊界條件的連續函數的任意線性組合 就構成了該函數的完備系列 {Ψn(x)}。 nn n)( ΨaxΨ ??第一章 量子力學基礎 3. Schr246。dinger 方程 牛頓第二定律對于速度遠小于光速的宏觀物理現象是正確的。 微觀粒子的運動狀態要用波函數 Ψ(x， y， z， t)來描述，波函數 Ψ(x， y，z， t)隨時間的變化要由 Schr246。dinger方程來表達： 22( , , , ) ( , , , ) ( , , , )2x y z ti x y z t V x y z ttm? ??? ? ? ? ??i ω( , , , ) ( , , ) ( ) ( , , ) e tx y z t x y z t x y z? ? ? ?? ? ? ?化學所討論的狀態 —— 多數是 定態 —— 其幾率密度分布不隨時間而改變的狀態。描述定態的 Ψ(x， y， z， t)必定具有下列形式 ω—— 常數。 第一章 量子力學基礎 波函數的這種形式，可保證粒子在空間各點出現的幾率密度不隨 t 改變。 ( , , , ) ( , , , ) ( , , ) ( , , )x y z t x y z t x y z x y z? ? ? ???? ? ?因此，定態粒子的狀態可用不顯含 t 的函數 ψ (x， y， z)來描寫， ψ(x， y， z)—— 定態波函數，簡稱波函數。 22() ( , , )( ) 2 ( , , )i d t x y z Vt d t m x y z? ???? ? ? ? ?? ?? ?),(),( ee),(),( ),(),(),(*i ωi ω**2zyxzyxzyxzyxtzyxΨtzyxΨtzyxΨtt???????????第一章 量子力學基礎 22 ( , , ) ( , , ) ( , , )2 x y z V x y z E x y zm ? ? ?? ? ? ?22 ( , , ) ( ) ( , , ) 02 x y z E V x y zm ??? ? ? ? ? ? ?上式左邊只是 t 的函數，右邊只是 (x,y,z)的函數，兩邊必等于同一常數 (E) 整理之得 22 ( , , ) ( , , )2 V x y z E x y zm ????? ? ? ? ?????也可寫作 此為定態波函數 ψ (x， y， z)所應滿足的方程 —— 定態 Schr246。dinger方程。 量子力學可以證明， E就是粒子的能量， E=T+V。 或 ),(),(H? zyxEzyx ?? ?第一章 量子力學基礎 Schr246。dinger方程的幾點說明： (1) Schr246。dinger方程不是推導而來，而是量子力學的一條基本假定。 (2) 定態是不依賴 t的運動狀態，是原子、分子中電子最可能的狀態，不顯含 t的 ψ可以解釋微觀現象中大量的定態性質。 (3) Laplace算符： 一維箱中粒子的 Schr246。dinger方程 三維箱中粒子的 Schr246。dinger方程 2222222zyx ??????????? ? ? ? ? ?xExxVxm ?? ??????? ????222?? ? ? ? ? ?zyxEzyxzyxVzyxm ,,2 222222 ?? ??????? ?????????????????? ?第一章 量子力學基礎 (4) 定態 Schr246。dinger方程也叫能量有確定值的本征方程； (5) 滿足本征方程的波函數一定是品優波函數； (6) 退化度（簡并度）：若有 f 個線性無關的本征函數 ψ， 對應于同一 個本征值 E， 那么這些線性無關的本征函數個數 f 叫簡并度，而說 本征值 E是簡并的。 第一章 量子力學基礎 四、態疊加原理 假設 Ⅳ ：體系屬于力學量 M的本征態的任意線性組合 也是體 系的一個可能狀態 . Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2+…+ Ψn = ??n1iii?c說明 ： (1) ci大小反應 ψi對 ψ的性質的貢獻大小。 (2) 例如，原子中的電子可能存在于 s或 p軌道，將 s與 p軌道的波函數線性組合為雜化軌道后也是電子可能的軌道。 第一章 量子力學基礎 1. 力學量平均值定理 * ?MMd? ? ?? ? ? ?體系任何狀態的波函數 ψ中，任何力學量 M的平均值 M均可表示為： * * * * ***? ?M M = =i i j j i i j j ji j i ji j j i jijd C C d C C m dC C m d? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ??? ?* , 1, ,0iji j i jijijd ij?? ? ? ? ?????? ? ?????若若 因： Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2+…+ Ψn = ??n1iii?c考慮到 ψ的正交歸一化性質： 第一章 量子