大連理工大學(xué)數(shù)學(xué)分析考研手冊精品(編輯修改稿)

　

【文章內(nèi)容簡介】 （ 1） 又由 及 在連續(xù)，故對上述，存在 ，使得當(dāng) 時 ，有. 聯(lián)系（ 1）得 : 對任給的 ，存在 ，當(dāng) 時有. 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 26 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 這就證明了 在點(diǎn) 連續(xù) . 注：根據(jù)連續(xù)性的定義，上述定理的結(jié)論可表示為 (2) 二 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì) 前面我們研究了函數(shù)的局部性質(zhì)，下面通過局部性質(zhì)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的整體性質(zhì)。 定義 1 設(shè) f為定義在數(shù)集 D上的函數(shù)，若存在 ，使得對一切有 ， 則稱 f 在 D 上有最大（最小值）值，并稱 為 f 在 D上的最大（最小值）值 . 例如 在 上有最大值 1,最小值 f 在定義域 D上不一定有最大值或最小值（即 使 f在 D上有界）。如 在 上既無最雪林雨荷，一生承諾！ ！ 27 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 大 值 又 無 最 小 值 ， 又 如 (4)在閉區(qū)間上也無最大、最小值。 定理 ( 最 大 最 小 值 定 理 ) 若 函 數(shù) 在 閉 區(qū) 間 上連續(xù)，則 在閉區(qū)間 上有最 大值與最小值。 該定理及以后的定理 和定理 將在第七 部分 167。 2 給出證明 . 推論：（有界性）若函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，則在閉區(qū)間 上有界。 定理 (介值性定理 ) 若函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，且 ，若 為 介于之間的任何實(shí)數(shù)（ 或 ） ,則在開區(qū)間 內(nèi)至少雪林雨荷，一生承諾！ ！ 28 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 存在一點(diǎn) ，使得 : 推論（根的存在 定理）若函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，且 異號，則至少存在一點(diǎn) 使得 . 即 在內(nèi)至少有一個實(shí)根 . 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 29 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 應(yīng)用介值性定理，還容易推得連續(xù)函數(shù)的下述性質(zhì)：若 在區(qū)間 [a,b]上連續(xù)且不是常量函數(shù) ,則值 域 也是一個區(qū)間；特別若 為區(qū)間 [a,b], 在 [a,b]上的最大值為 ,最小值為 ，則 ；又若 為 [a,b]上的增（減）連續(xù) 函 數(shù) 且 不 為 常 數(shù) ， 則 例 3 證明：若 為正整數(shù)，則存在唯一正數(shù) ，使得. 證明 先證存在性。由于當(dāng) 時有 ，故存在正數(shù) ，使得 .因 在 上連續(xù)，并有，故有介值性定理，至少存在一點(diǎn)使得 . 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 30 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 再 證 唯 一 性 。 設(shè) 正 數(shù) 使得 由 于 第 二 個 括 號 內(nèi) 的 數(shù) 為 正 所 以 只 能 ，即 . 例 4 設(shè) 在 [a,b] 連續(xù)，滿足 （ 5） 證明：存在 ，使得 （ 6） 證 條件（ 5）意味著：對任何 有 ，特別有 以及 . 若 或 ，則取 ，從而（ 6）式成立。現(xiàn)設(shè) 與。 。 令 ，則 ，. 由根的存在性定理，存在 ，使得 即 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 31 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 . 三 反函數(shù)的連續(xù)性 定理 （反函數(shù)的連續(xù)性）若函數(shù) 在閉區(qū)間 嚴(yán)格遞增（遞減）且連續(xù)，則其反函數(shù) 在相應(yīng)的定義域 （ ）上遞增（遞減）且連續(xù)。 證明 （只證明 f(x)嚴(yán)格遞增情況）由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性，反函數(shù)存在，而且其定義域?yàn)? 。 設(shè) ，且 則 ，對任給的 可在 的兩側(cè)各取異于 的兩點(diǎn) （ ），使它們與 的距離小于 （參見上圖） . 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 32 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 設(shè) ，由函 數(shù)的嚴(yán) 格遞增 性， 必分別落在 的兩側(cè)，即當(dāng) 時，令 ， 則當(dāng) 時，對應(yīng)的 的值必落在 之間，從而 . 應(yīng)用單側(cè)極限的定義，同樣可證 在區(qū)間端點(diǎn)也是連續(xù)的。 四 一致連續(xù)性 前面介紹的函數(shù) 在某區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性，是指它在區(qū)間的每一點(diǎn)都連續(xù)。這只反映函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，就是說連續(xù)定義中的 不僅與 有關(guān)，而且與 有關(guān)。下面介紹的一致連續(xù)性，則是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)，其定義中的 只與 有關(guān)，而與無關(guān)。 定義 2（一致連續(xù)性）設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 I上有定義，若 只要 ， ，都有 ，則稱 在區(qū)間 I 上一致連續(xù)。 這里要特別注意逐點(diǎn)連續(xù)與一致連續(xù)的區(qū)別。直觀的說 在區(qū)間 I一致連續(xù)意味著：不論兩點(diǎn) 在 I 中處于什么位置只要它們的距離小于，就可使 . 顯然 I 必然在 I 上每一點(diǎn)連續(xù)，雪林雨荷，一生承諾！ ！ 33 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 反之，結(jié)論不一定成立（參見例 9）。 定理 （一致連續(xù)性）若函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，則在 上一致連續(xù)。 167。 3 初等函數(shù)連續(xù)性 從前面兩節(jié)知道基本初等函數(shù)中：常函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)，以及有理指數(shù)冪函數(shù)，都是定義 域上的連續(xù)函數(shù) .本節(jié)將討論指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與實(shí)指數(shù)冪函數(shù)在其定義域內(nèi)的連續(xù)性，以及初等函數(shù)在 其定義域內(nèi)的連續(xù)性。 一 指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性 在第一 部分 中，我們已定義了實(shí)指數(shù)的乘冪，并證明了指數(shù)函數(shù) 在 上是嚴(yán)格單調(diào) 的 .下面先把關(guān)于有理指數(shù)冪的一個重要性質(zhì)推廣到一般指數(shù)冪 ,然后證明指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性。 定理 設(shè) 為任意實(shí)數(shù) ,則有 . 證明 不妨設(shè) ，則 由第一 部分 167。 3（ 6）式所定義，即 . 任給 ，設(shè) 為兩個有理數(shù)，且 ，使得 . 由 的嚴(yán)格增遞性，得 . 又有 ，故得 . 由任意性推出 . 為證相反的不等式 , 設(shè) 為有理數(shù)，且 ，使得 . 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 34 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 再取有理數(shù) 使 , 則有 故得到 . 由任意性 推出 ,所以有 . (后一等式的證明留給讀者 .) 定理 指數(shù)函數(shù) 在 R 上是連續(xù)的 . 證明 先設(shè) .有第三 部分 167。 2例 4 知 這表明 在 連續(xù) .現(xiàn)任取 .由定理 得 . 令 則當(dāng) 時有 ,從而有 . 這證明了 在任一點(diǎn) 處連續(xù) . 當(dāng) 時 ,令 ,則有 ,而 可看作函數(shù) 與的復(fù)合，所以此時 亦在 上連續(xù)。利用指數(shù)函數(shù) 的連續(xù)性，以及第三 部分 167。 5例 4中已證明的 可知 的值域?yàn)椋?） ( 時也是如此 ).于是 的反函數(shù) — 對數(shù)函數(shù) 在其定義域 ( ) 內(nèi)也連續(xù) . . 二 初等函數(shù)的連續(xù)性 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 35 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 由于冪函數(shù) （ 為實(shí)數(shù)）可表為 ，它是函數(shù) 與 的復(fù)合，故有指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函 數(shù)的連續(xù)性以及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，推得冪函數(shù) 在其定義域（ ）上連續(xù)。 前面已經(jīng)指出，常函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)都是定義域上的連續(xù)函數(shù) .因此我們有下述定理： 定理 一切基本初等函數(shù) 都是定義域上的連續(xù)性函數(shù) . 由于任何初等函數(shù)都是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算所得到 ,所以有： 定理 任何初等函數(shù)都是定義域上的連續(xù)性函數(shù) . 第五 部分 導(dǎo)數(shù)與微分 167。 1 導(dǎo)數(shù)概念 速度和切線的例子雖然各有其特殊內(nèi)容，但如果撇開它們具體的物理意義，單從數(shù)量關(guān)系上看它 們有共同的本質(zhì)，兩者都表示函數(shù)因變量隨自變量變化的快慢程度，即都反映了函數(shù)的變化率 （ 3） 定義 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有定義，若極限 存在，則稱函數(shù) 在點(diǎn) 可導(dǎo)，并稱該極限為函數(shù) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)， 等 . 若上述極限不存在，則稱 在點(diǎn) 不可導(dǎo)。 注：令 ， ，則（ 3）式可改寫為 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 36 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 （ 4） 所以，導(dǎo)數(shù)是 函數(shù)增量△ y 與自變量增量△ x 之比 的極限，這個增量比稱為函數(shù)關(guān)于自變量的平均變化率（又稱差商），而導(dǎo)數(shù) 則為 在χ 0處關(guān)于 的變化率，它能夠近似描繪函數(shù) 在點(diǎn) 附近的變化性態(tài)。 注：此公式對△χ = 0 仍舊成立。利用有限增量公式，可得下面結(jié)論： 定理 1 若函數(shù) 在 處可導(dǎo)，則函數(shù) 在 處連續(xù)。但是可導(dǎo)僅是連續(xù)的充分條件，而不是必要條件，比如：函數(shù) 在 處連續(xù)，但不可導(dǎo)。 （二）函數(shù)在一點(diǎn)的單側(cè)導(dǎo)數(shù) 類似于函數(shù)在一點(diǎn)有左、右極限 , 對于定義在某個閉區(qū)間或半開區(qū)間上的函數(shù)，如果要討論改函數(shù)在端點(diǎn)處的變化率時，就要對導(dǎo)數(shù)概念加以補(bǔ)充，引出單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念。 定義 2 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某右鄰域 上有定義，若右極限 (0＜ ＜ 或 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 37 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 ( 存在，則稱該極限值為 在點(diǎn) 0 的右導(dǎo)數(shù)，記作 ，類似地，可定義左導(dǎo)數(shù) 右導(dǎo)數(shù)和左導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)。 如同左、右極限與極限之間的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系是： 定理 若函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有定義，則 存在的充分必要條件是： 都存在，且 = 。 說明：分段函數(shù)在分界點(diǎn)處討論導(dǎo)數(shù)便是依據(jù)這一結(jié)論，通過左、右導(dǎo)數(shù)來判斷該點(diǎn)是否存在導(dǎo)數(shù)及若存在應(yīng)等于什么。 由定理 2， 連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例 函數(shù) ， 處是焦點(diǎn)，不可導(dǎo)。 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 38 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 在 處振蕩，左右導(dǎo)數(shù)都不存在。 （三）導(dǎo)函數(shù) 若函數(shù)在區(qū)間 I 上每一點(diǎn)都可導(dǎo)（對區(qū)間端點(diǎn)，僅考慮相應(yīng)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)），則稱 為 I 上的可導(dǎo)函數(shù)。此時對每一個χ∈ I，都有 的一個導(dǎo)數(shù) （或單側(cè)導(dǎo)數(shù)）與之對應(yīng)，這樣就定義了一個在 I上的函數(shù)，稱為 在 I上的導(dǎo)函數(shù)，也簡 稱為導(dǎo)數(shù)，記作 等 . 即 . 說明： 1176。區(qū) 間上的可導(dǎo)概念與連續(xù)一樣，也是逐點(diǎn)定義的局部概念。 2176。在物理學(xué)中導(dǎo)數(shù) yˊ也常用牛頓記號 y` 表示，而記號 是萊布尼茨 首先引用的。目前我們把 看作為一個整體，也可把它理解為 施加于 y 的求導(dǎo)運(yùn)算，待到學(xué)過“微分”之后，將說明這個記號實(shí)際上是一個“商”，雪林雨荷，一生承諾！ ！ 39 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 相應(yīng)于上述各種表示導(dǎo)數(shù)的形式， 三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 我們已經(jīng)知道 由導(dǎo)數(shù)的定義， ，所以曲線 在點(diǎn) 的切線方程是 （ 7） 這就是說：函數(shù) 在點(diǎn) x0 的導(dǎo)數(shù) 是曲線 在點(diǎn) （ x0， y0）處的切線斜率，若α 表示這條切線與 x 軸正向的夾角，則 =tanα 從而 ＞ 0 意味著切線與 x 軸正向的夾角為銳角； = 0 表示切線與 x 軸平行。 四、小結(jié)（可以師生共同總結(jié)，或教師引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)，然后教師再條理一下） 本節(jié)課重點(diǎn)在于“導(dǎo)數(shù)”的定義，而函數(shù)