大連理工大學數學分析考研手冊精品-資料下載頁

【導讀】雪林雨荷，一生承諾！！回顧中學中關于有理數和無理數的定義.則有限十進小數都能表示成無限循環小數。其中為非負整數，。2）若存在非負整數，使得，而，則稱大于（或小于），分別記為（或）。,,,,稱為的不足近似值；,,,,稱為的過剩近似值。等號當且僅當時成立.例證明集合是無界數集.它為數集S的上確界；同樣，有下界數集的最大下界，稱為該數集的下確界。對一切有，即是數集S的上界；則稱數為數集S的上確界。的.因此我們對函數的概念以及常見的一些函數應有一個清楚的認識.

　　

【正文】 拉格朗日中值定理及利用它研究函數的某些特性；難點是用輔助函數解決問題的方法。 1176。 拉格朗日中 值定理的內容及證明方法要熟練掌握。微分中值定理主要指拉格朗日中值定理，它 的特例是羅爾定理，它的推廣是接下來我們要學習的柯西定理和泰勒定理。拉格朗日中值定理是溝通 函數及其導數的橋梁，是數學分析的重要定理之一。 2176。 構造輔助函數法是應用微分中值定理的基本方法。實際上，輔助函數法是轉化問題的一種重要手 段，通過巧妙地數學變換，將一般問題化為特殊問題，將復雜問題化為簡單問題，這種論證思想也是數 學分析的重要而常用的數學思維的體現。關于如何恰當地構造和選用輔助函數問題，請同學們結合第三 部分的題目仔細體會總結 。 二 不定式的極限 一 . 型 : 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 52 / 218 《考研專業課高分資料》 定理 ( Hospital 法則 ) 若函數 和 滿足： (i) (ii) 在點 的某空心鄰域內而這可導，且 ； (iii) 可為實數，也可為 ） 則 ( 證 ) 注意 : 若將定理中的 x 換成 ，只要相應地求證條件 (ii)中的 鄰域，也可以得到同樣的結論。 二 . 型不定式 極限 : 定理 ( Hospital 法則 ) 若函數 和 滿足： (i) (ii) 在點 的某右鄰域內二這可導，且 ； (iii) 可為實數，也可為 ） 則 注意 1 不存在，并不能說明 不存在（為什么？） 注意 2 不能對任何比式極限都按洛必達法則來求，首先要注意它是不是不定式極限，其次是否滿 足洛必達法則條件 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 53 / 218 《考研專業課高分資料》 例 求極限 . ( Hospital 法則失效的例 ) 三 . 其他待定型 : .前四個是冪指型的 . 167。 3 泰勒公式 一 . 問題和任務 : 泰勒定理的引入和基本思想 容易驗證多項式函數 一般函數上面的結果能否成立或近似成立呢？若一個函數能用多項式近似，對函數的計算、性質的 研究就會大大簡化。 用多項式逼近函數的可能性 。 對已知的函數 , 希望找一個多項式逼近到要求的精度 . 三 Taylor( 1685— 1731 )多項式 : 分析前述任務，引出用來逼近的多項式應具有的形式 定義 Taylor 多項式 及 Maclaurin 多項式 四 Taylor 公式和誤差估計 : 稱 為余項 . 稱給出 的定量或定性描述的式 為函數 的 Taylor 公式 . 1. 誤差的定量刻畫 ( 整體性質 ) —— Taylor 中值定理 : 定理 設函數 滿足條件 : ⅰ ) 在閉區間 上 有直到 階連續導數 。 ⅱ ) 在開區間 內 有 階導數 . 則對 使 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 54 / 218 《考研專業課高分資料》 . 證 稱這種形式的余項 為 Lagrange 型余項 . 并稱帶有這種形式余項的Taylor 公式為具 Lagrange 型余項的 Taylor 公式 . Lagrange 型余項還可寫為 . 時 , 稱上述 Taylor 公式為 Maclaurin 公式 , 此時余項常寫為 . 關于 Taylor 公式中 Lagrange 型余項的進一步討論可參閱 : Alfono, G. Azpeitia, On the Lagrange remeinder of the Taylor formula. Amer. Math. Monthly, 89(1982). 2. 誤差的定性描述 ( 局部性質 ) —— Peano 型余項 : 定理 2 若函數 在點 的某鄰域 內具有 階導數 , 且 存在 , 則 證 設 , . 應用 Hospital法則 次 , 并注意到 存在 , 就有 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 55 / 218 《考研專業課高分資料》 . 稱 為 Taylor 公式的 Peano 型余項 , 相應的 Maclaurin公式的 Peano 型余項為 . 并稱帶有這種形式余項的 Taylor 公式為具 Peano 型余項的Taylor 公式 ( 或 Maclaurin 公式 ). 四 . 函數的 Taylor 公式 ( 或 Maclaurin 公式 )展開 : 例 驗證下列函數的 Maclaurin 公式 167。 4 函數的極值與最大 (小 )值 一 可微極值點判別法 : 極值問題 : 極值點 , 極大值還是極小值 , 極值是多少 . 1. 可微極值點的必要條件 : Fermat 定理 . 函數的駐點和 (連續但 )不可導點統稱為穩定點 , 穩定點的求法 . 2. 極值點的充分條件 : 對每個穩定點 , 用以下充分條件進一步鑒別是否為極值點 . 定理 4 (充分條件Ⅰ ) 設函數 在點 連續 , 在鄰域 和 內可導 . 則 ⅰ） 在 內 在 內 時 , 為 的一個極小值點 。 ⅱ） 在 內 在 內 時 , 為 的一個極大值點 。 ⅲ） 若 在上述兩個區間內同號 , 則 不是極值點 . 定理 5 (充分條件Ⅱ ) 設點 為函數 的駐點且 存在，則 ⅰ） 當 時 , 為 的一個極大值點 。 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 56 / 218 《考研專業課高分資料》 ⅱ） 當 時 , 為 的一個極小值點 . 證法一 當 時 , 在點 的某空心鄰域內 與 異號 ,…… 證法二 用 Taylor 公式 展開到二階 , 帶 Peano 型余項 . 二 最大值最小值 先看三個函數的圖象 (c61) 由上面圖像看出，函數的最大最小值可能發生在穩定點處，不可導點處， 也可能發生在區間的端點。 因此 , 函數的最大最小值點應從：穩定點 , 不可導點 , 端點 中 去尋找， 這三種點中，函數取最大者為函 數的最大點，取最小者為函數的最小值點，因此求解最大最小點的步驟應為 : 第一步 求出穩定點 , 不可導點和端點 第二步 算出這些點處的函數值 , 其中最大者就是最大值 , 最小者就是最小值 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 57 / 218 《考研專業課高分資料》 167。 5 函數的凸性與拐點 一． 凸性的定義及判定： 1． 凸性的定義：由直觀引入 . 強調曲線彎曲方向與上升方向的區別 . 定義 1 設函數 在區間 I 上連續 . 若對 I 和 恒有 則稱曲線 在區間 I 的凸函數 , 反之 , 如果總有 則稱曲線 在區間 I 的凹函數 . 若在上式中 , 當 時 , 有嚴格不等號成立 , 則稱曲線 在區間 上是嚴格凸 (或嚴格凹 )的 . 凸性的幾何意義 : 倘有切線，考慮 與切線的位置關系 。 與弦的位置關系 。 曲線的彎曲方向 . 引理 為區間 I 上的凸函數的充要條件是 :對 I 上任意三點 : , 總有 證明 : 必要性 充分性 定理 設函數 在區間 I 上可導 , 則下面條件等 價 : (i) 為 I 上凸函數 (ii) 為 I 上的增函數 (iii) 對 I上的任意兩點 有 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 58 / 218 《考研專業課高分資料》 證明 2． 利用二階導數判斷曲線的凸向 : 定理 設函數 在區間 內存在二階導數 , 則在 內 ⑴ 在 內嚴格上凸 。 ⑵ 在 內嚴格下凸 . 證法一 ( 用 Taylor 公式 ) 對 設 , 把 在點 展開成具 Lagrange 型余項的 Taylor 公式 , 有 . 其中 和 在 與 之間 . 注意到 , 就有 , 于是 , 若有 上式中 , 即 嚴格上凸 . 若 有 上式中 , 即 嚴格下凸 . 證法二 ( 利用 Lagrange 中值定理 . ) 若 則有 ↗↗ . 不妨設 , 并設 , 分別在區間 和 上應用Lagrange 中值定理 , 有 . 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 59 / 218 《考研專業課高分資料》 有 又由 ， , ， 即 ， 嚴格下凸 . 可類證 的情況 . 3． 凸區間的分離 : 的正、負值區間分別 對應函數 的下凸和上凸區間 . 二 . 曲線的拐點 : 拐點的定義 . 167。 6 函數圖象的討論 我們要認識一個函數，搞清它的性質，往往要從研究它的圖象入手，借助對函數圖象的觀察、分析， 發 現 其 隱 含 的 規 律 性 東 西 。 比 如 我 們 在 第 二 部分 研 究 特 殊 極限 時，首先用中學時講過的 從中學求點描跡作圖知道，作圖象的一般步驟應是 1 確定函數定義域 ，以安排合適大小的坐標系； 2 確定函數的奇偶性、周期性，以減少作圖工作量 ； 3 給出反映函數特性的某些關鍵點，比如與軸的交點； 4 函數的單調區間和極值，凸凹性、拐點。 例 1 作函數 圖象 1 函數定義域 2 該函數不是奇偶函數，也 不是周期函數 3 與軸的交點 與 4 單調區間和極值 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 60 / 218 《考研專業課高分資料》 y=39。1/4*(x3)^2/(x1)39。 y1=diff(y)。 dydx=simplify(y1) dydx = 1/4*(x3)*(x+1)/(x1)^2 時，導數不存在，導數的符號由 決定： 時 , 函數嚴格遞增 , 時 , 遞減， 為極大點， 為極小點。 x － 1 3 y 極大 極小 凸凹性 d2ydx2=simplify(diff(y1)) d2ydx2 = 2/(x1)^3 x1 上凸 , x1 下凸 x1 x =1 1x1 x=1 1x3 x=3 x3 增 極大 減 減 極小 增 漸近線 垂直漸近線 : 顯然 x=1 為垂直漸近線 斜漸近線 : = k 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 61 / 218 《考研專業課高分資料》 再計算 s=39。1/4*x39。s1=symsub(y,s)。 simplify(s1) ans = 1/4*(5*x9)/(x1) 有斜漸近線 我們把找到的特殊點 , 漸近線先畫出來 第八 部分 不定積分 167。 1 不定積分概念與基本積分公式 一 原函數與不定積分 前面我們學習了導數與微分，由已知函數利用基本求導公式和求導法則可以求出它的導數，那自然會 想到：求導運算能否和數的四則運算那樣，知道了 導數 反過來就能求