微積分——中值定理及導數應用(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 ， ； 0)( 0 ?? xf 0)( 0 ??? xf（ 1） 若 ，則 是函數 的極小值點； 0)( 0 ?? xf 0x )(xf（ 2）若 ，則 是函數 的極大值點； 0)( 0 ?? xf0x)(xf例 5 求函數 的極值 . xxxf 3)( 3 ??解 函數的定義域為 ),( ????所以 為極大值 , 為極小值 . 2)1( ??f 2)1( ??f前頁 結束 后頁 函數的最大值與最小值 是函數在所考察的區間上全部函數值中最大者和最小者 最小的就是函數在區間 上的最小值。 ],[ ba連續函數在區間 上的最大值與最小值可通過比較 端點處的函數值 和 。 ],[ ba ( ) ( )f a f b 內使 ),( ba 0)( ?? xf內使 不存在的點處的函數值。 ),( ba )(xf?這些值中最大的就是函數在 上的最大值 , ],[ ba],[ ba上的最大值與最小值是全局性的概念 , 函數在區間 ],[ ba如下幾類點的函數值得到： 前頁 結束 后頁 上的最大值和最小值。 在駐點處函數值分別為 在端點的函數值為 最大值為 最小值為 解 )1)(1(444)( 3 ?????? xxxxxxf令 0)( ?? xf ，得駐點 11 ??x 0, 2 ?x 1, 3 ?x13)2()2( ??? ff4)1()1( ??? ff例 6 求函數 在區間 52)( 24 ??? xxxf [ 2, 2]?)(xf 4)1(,5)0(,4)1( ???? fff3)2()2( ??? ff比較上述 5個點的函數值，即可得 在區間 上的 )(xf [ 2,2]?前頁 結束 后頁 M1 x y o 1?2?M2 M1 x y o 1?2?M2 曲線的凹凸與拐點 定義 1：如果在某區間內，曲線弧總是位于其切線的上方，則稱曲線在這個區間上是凹的。 如圖所示 函數圖形的描繪 前頁 結束 后頁 如果曲線弧總是位于其切線的下方 ， 則稱曲線在這個區間上是凸的 。 如下圖： 當曲線為凹時，曲線 的切線斜率 隨著 的增加而增加，即 是增函數；反之，當曲線為凸時，曲線 的切線斜率 隨著 的增加而減少，即 是減函數。 )( xfy ? xxf ta n)( ??x)(xfy ?)(xf?( ) t a nf x x? ?x )(xf?M1 x 1? 2?M2 y o M1 x y o M2 前頁 結束 后頁 定理 1 設函數 在區間 （ 1）如果 ∈ 時，恒有 ，則曲線 在 內為凹的； （ 2）如果 ∈ 時，恒有 ，則曲線 在 內為凸的。 定義 2 曲線上凹與凸的部分的分界點稱為曲線的拐點 。 拐點既然是凹與凸的分界點 ， 所以在拐點的某鄰域內 必然異號 ， 因而在拐點處 或 不存在 。 )(xfx)(xfx)(xf)(xf ?? )(xf ??0)( ??? xf),( ba),( ba0)( ??? xf),( ba),( ba),( ba0)( ??? xf前頁 結束 后頁 例 1 求曲線 的凹凸區間與拐點 。 解 令 ，得 ， 12 34 ??? xxy23 64 xxy ??? 2, 1 2 1 2 1 2 ( 1 )y x x x x?? ? ? ? ?列表如下 ?0?0?0???y 1 , 0 21 ?? xx)1,0( ),1( ??)0,(?? 10)1,0()0,1(()fx??()fx有拐點 有拐點 x前頁 結束 后頁 可見 ,曲線在區間 內為凹的，在區間 內為凸的，曲線的拐點是 和 . ),1( , )0,( ????)1,0()1,0( )0,1( 如果函數 在 的某鄰域內連續，當在點 的二階導數不存在時，如果在點 某空心鄰域內二階導數存在且在 的兩側符號相反，則點 是拐點；如果兩側二階導數符號相同，則點 不是拐點 . )(xf 0x 0x0x ))(,( 00 xfx))(,( 00 xfx0x綜上所述，判定曲線的凹凸與拐點的步驟可歸納如下： （ 1）求一階及二階導數 ， （ 2）求出 及 不存在的點； )(xf? )(xf ??)(xf? )(xf ??前頁 結束 后頁 （ 3） 以 （ 2） 中找出的全部點 ， 把函數的定義域分成若干部分區間 ， 列表考察 在各區間的符號 ， 從而可判定曲線在各部分區間的凹凸與拐點 。 )(xf ??例 2 求曲線 的凹凸區間與拐點 。 2xey ??解 函數的定義域為 當 時 ， ， 故以 將定 義域分成三個區間，列表如下： 0???y21??x22 xxey ???? 2 2, 2 ( 2 1 )xy e x??? ??21??x21??x),( ????前頁 結束 后頁 x 1( , )2?? ?12?11( , )22?121( , )2 ??)( xf ??)(xf + 0 － 0 + 有 拐 點 有拐點 在 處，曲線上對應的點 與 為拐點。 21??x )1,21(e?)1,21( e前頁 結束 后頁 有些函數的定義域或值域是無窮區間 ， 此時函數的圖形向無限遠處延伸 ， 如雙曲線 、 拋物線等 。 有些向無窮遠延伸的曲線 ， 越來越接近某一直線的趨勢 ， 這種直線就是曲線的漸近線 。 定義 3 如果曲線上一點沿著曲線趨于無窮遠時 ， 該點與某直線的距離趨于零 ， 則稱此直線為曲線的漸近線 。 1． 如果曲線 的定義域是無窮區間，且有 或 ,則直線 為曲線 的漸近線，稱 )( xfy ? bxfx ???? )(limby ?bxfx ???? )(lim)( xfy ?為水平漸近線 .如下圖 前頁 結束 后頁 x y o x y o 例 3 求曲線 的水平漸近線 。 11?? xy解 因為 所以 是曲線的一 條水平漸近線，如圖示 011lim ???? xx0?y前頁 結束 后頁 如果曲線 滿足 或 )( xfy ? ??? )(lim xfcx???? )(lim xfcx ???? )(lim xfcx則稱直線 為曲線 的鉛 直漸近線（或垂直漸近線），如圖 cx ? )( xfy ?例４ 求曲線 的鉛直漸近線 。 11?? xy解 所以 是曲線的一條鉛直漸近線。 ???? 11l i m1 xx1?x如前頁圖所示 前頁 結束 后頁 函數的圖形有助于直觀了解函數的性質 ， 所以研究函數圖形的描繪方法很有必要 ， 現在綜合上面對函數性態的研究 ， （ 1） （ 2） 確定函數的奇偶性 （ 曲線的對稱性 ） 和周期性； （ 3） 確定函數的單調區間和極值 。 （ 4 （ 5 （ 6）算出一些點，特別是曲線與坐標軸的交點坐標。 （ 7）用平滑的曲線連接各點。 前頁 結束 后頁 例 5 作函數 的圖形。 2)1(42 ???xxy解 （ 1） 定義域為 : ( , 0)?? (0, )??（ 2） 求函數的增減區間 、 極值 、 凹凸區間及拐點； 因為 ， 3)2(4xxy ???4)3(8xxy ????令 得 ； 令 得 列表如下 : 0??y 2??x0???y 3??xx ( , 3)?? ? ( 3, 2 )?? ( 2, 0)? － 3