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[高等教育]線性代數(shù)第二章(編輯修改稿)

2026-03-20 16:23 本頁面

　

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 .同理可證另一個(gè)等式也成立 .(3 ) (AB )1 = B1A1,(A 1A 2 A m )1 = A m1 A 21A 11 .逆陣的性質(zhì)逆陣的性質(zhì) (3)可知乘積 : 將 A1 + B1 表示成已知的可逆矩陣的例例 3 設(shè) n 階方陣 A, B, A + B均可逆 , 證明(A1 + B1)1 = A(A + B)1B = B(B + A)1A.例 4 設(shè) 為 n ( n ≥ 2 )階方陣 , 證明 |A?| = |A|n1. 由于 AA? = A?A = |A|E , 所以|A| |A?| = |A|n . 下面分三種情形討論 :(1) |A| ?0, 即 A可逆 , 上式兩端除以 |A| 即得 |A?| = |A|n1.(2) |A| = 0, 且 A = O, 則 A? = O, 結(jié)論顯然成立 .證明證明例例 4 設(shè) A 為 n ( n ≥ 2 )階方陣 ,證明|A?| = |A|n1.分塊矩陣的定義主要內(nèi)容分塊矩陣的運(yùn)算第四節(jié) 矩陣分塊法兩種常用的分塊法線性方程組的各種形式克拉默法則的證明對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣 A, 運(yùn)算時(shí)常采用分塊法 , 使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算 . 我們將矩陣 A 用若干條縱線和橫線分成許多個(gè)小矩陣 , 每一個(gè)小矩陣稱為 A 的子塊 ,以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣 . 一、分塊矩陣的定義例如將 3 4 矩陣 ???????????343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA分成子塊的分法很多 , 下面舉出三種分塊形式 : ,( 1 )343332312423222114131211??????????aaaaaaaaaaaa,( 2 )343332312423222114131211??????????aaaaaaaaaaaa.( 3 )343332312423222114131211??????????aaaaaaaaaaaa 分法 (1) 可記為 ,22211211?????????AAAAA其中 ? ? ? ? ,aaA,aaA,aaaaA,aaaaA34332232312124231413122221121111????????????????????即 A11, A12, A21, A22 為 A 的子塊 ,而 A 形式上成為以這些子塊為元素的分塊矩陣 . 分塊矩陣可類似寫出 , 這里從略 . 分法 (2) 及 (3) 的二、分塊矩陣的運(yùn)算分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則與普通矩陣的運(yùn)算規(guī)則相類似 , 分別說明如下 : ,BBBBB,AAAAAsrsrsrsr??????????????????????????????111111111. 加法運(yùn)算設(shè)矩陣 A 與 B 的行數(shù)相同、列數(shù)相同 , 采用相同的分塊法 , 有其中 Aij 與 Bij 的行數(shù)相同、列數(shù)相同 , 那么 .BABABABABAsrsrssrr????????????????????11111111,AAAAAsrsr???????????????1111? 為常數(shù) ,那么 2. 數(shù)乘運(yùn)算設(shè) .1111???????????srsrAAAAA?????????,BBBBB,AAAAAtrtrstst??????????????????????????????11111111 3. 分塊矩陣的乘法運(yùn)算設(shè) A 為 m l 矩陣 , B為 l n 矩陣 , 分塊成 ,CCCCABsrsr???????????????1111其中 ? ??????tkkjikij .,r,j,s,iBAC11。1 ??其中 Ai1 , Ai2 , , Ait 的列數(shù)分別等于 B1j , B2j , , Btj 的行數(shù) , 那么例 15 設(shè) ,B,A??????????????????????????????????02111401102101011011012100100001求 AB. 例例 15設(shè),B,A??????????????????????????????????02111401102101011011012100100001解解求 AB.把 A， B分塊成 4. 分塊矩陣的轉(zhuǎn)置設(shè) ,AAAAAsrsr???????????????1111 則 .TT1T1T11T?????????????srrsAAAAA????,21???????????????sAAAA?5. 分塊對(duì)角矩陣設(shè) A 為 n 階方陣 , 若 A 的分塊矩陣只有在主對(duì) 角線上有非零子塊 , 其余子塊都為零矩陣 , 且非零子塊都是方陣 , 即其中 Ai ( i = 1, 2, 183

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