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利用導數(shù)解決恒成立問題(編輯修改稿)

2026-04-20 12:44 本頁面

　

【文章內(nèi)容簡介】 2時，f(x)＝(－x2＋2x)ex，所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.令f′(x)0，即(－x2＋2)ex0，因為ex0，所以－x2＋20，解得－x.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[－，]．(2)因為函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增，所以f′(x)≥0對x∈(－1,1)都成立．因為f′(x)＝(－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，所以[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0對x∈(－1,1)都成立．因為ex0，所以－x2＋(a－2)x＋a≥0對x∈(－1,1)都成立，即a≥＝＝(x＋1)－對x∈(－1,1)都成立．令y＝(x＋1)－，則y′＝1＋0.所以y＝(x＋1)－在(－1,1)上單調(diào)遞增，所以y(1＋1)－＝，即a≥.因此a的取值范圍為a≥.【點評】（1）數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增(減)時，函數(shù)的導數(shù)在這個區(qū)間上大(小)于或者等于零恒成立，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題解決．(2)在形式上的二次函數(shù)問題中，極易忘卻的就是二次項系數(shù)可能等于零的情況，這樣的問題在導數(shù)單調(diào)性的討論中是經(jīng)常遇到的，值得特別注意．【答案】a的取值范圍為a≥【難度】***例3：已知函數(shù).（Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線垂直，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對于都有成立，試求的取值范圍；【解析】(I) ，因為，所以，所以. 所以. .由解得；由解得.所以的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是. ………4分(II) ，由解得；由解得.所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以當時，函數(shù)取得最小值，.因

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