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圓錐曲線的范圍最值問題(編輯修改稿)

2026-04-21 00:04 本頁面

　

【文章內容簡介】 ∴ 則橢圓方程為即設則當時,有最大值為解得∴,橢圓方程是（Ⅱ）設方程為由整得. 由,得. ∴ 則, 由點P在橢圓上,得化簡得① 又由即將,代入得化簡,得則, ∴② 由①,得聯立②,解得∴或【點評】第一問中轉化為求二次函數最大值后,要注意變量取值范圍；第二問利用點P在橢圓上,和已知向量等式得變量的等量關系,和變量的不等關系聯立求參數的取值范圍．【小試牛刀】已知圓,若橢圓的右頂點為圓的圓心,離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）若存在直線,使得直線與橢圓分別交于兩點,與圓分別交于兩點,點在線段上,且,求圓的半徑的取值范圍.【解析】（1）設橢圓的焦距為2c,因為所以橢圓的方程為.顯然,若點也在線段上,則由對稱性可知,直線就是y軸,與已知矛盾,所以要使,只要,所以當時,.當時,3,又顯然,所以.綜上,圓的半徑的取值范圍是.圓錐曲線中的最值、范圍問題類型較多,解法靈活多變,但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何方法,即通過利用曲線的定義、幾何性質以及平面幾何中的定理、性質等進行求解；二是利用代數方法,即把要求最值的幾何量或代數表達式表示為某個(些)參數的函數(解析式),然后利用函數方法、不等式方法等進行求解．【遷移運用】1．【2017屆湖南師大附中高三上學期月考三】已知兩定點和,動點在直線上移動,橢圓以為焦點且經過點,則橢圓的離心率的最大值為（）A． B． C. D．【答案】A【解析】關于直線的對稱點為,連接交直線于點,則橢圓的長軸長的最小值為,所以橢圓的離心率的最大值為,故選A.2．【20162017學年河北定州市高二上學期期中】過雙曲線的右支上一點,分別向圓：和圓：作切線,切點分別為,則的最小值為（）A．10 B．13 C．16 D．19【答案】B【解析】由題可知,．3．【2017屆湖南長沙一中高三月考五】已知中心在坐標原點的橢圓與雙曲線有公共焦點,且左、右焦點分別為,.這兩條曲線在第一象限的交點為,記橢圓與雙曲線的離心率分別為、,則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C4．【2016屆河南省鄭州市一中高三上學期聯考】已知拋物線,點Q是圓上任意一點,記拋物線上任意一點到直線的距離為,則的最小值

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