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導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性極值最基礎(chǔ)值習(xí)題(編輯修改稿)

2026-04-21 00:40 本頁(yè)面

　

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】上類題的解題規(guī)律與解題步驟．　14．已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m為常數(shù)）在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函數(shù)在[﹣2，2]上的最小值是（　　）A．﹣37 B．﹣29 C．﹣5 D．以上都不對(duì)【分析】先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)單調(diào)性研究函數(shù)的極值點(diǎn)，在開(kāi)區(qū)間（﹣2，2）上只有一極大值則就是最大值，從而求出m，通過(guò)比較兩個(gè)端點(diǎn)﹣2和2的函數(shù)值的大小從而確定出最小值，得到結(jié)論．【解答】解：∵f′（x）=6x2﹣12x=6x（x﹣2），∵f（x）在（﹣2，0）上為增函數(shù)，在（0，2）上為減函數(shù)，∴當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=m最大，∴m=3，從而f（﹣2）=﹣37，f（2）=﹣5．∴最小值為﹣37．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過(guò)比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù)f（a），f（b）比較而得到的，屬于基礎(chǔ)題．　二．填空題（共10小題）15．函數(shù)f（x）=x3﹣3x2+1的極小值點(diǎn)為　2　．【分析】首先求導(dǎo)可得f′（x）=3x2﹣6x，解3x2﹣6x=0可得其根，再判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)分析函數(shù)的單調(diào)性，即可得到極小值點(diǎn)．【解答】解：f′（x）=3x2﹣6x令f′（x）=3x2﹣6x=0得x1=0，x2=2且x∈（﹣∞，0）時(shí)，f′（x）＞0；x∈（0，2）時(shí)，f′（x）＜0；x∈（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0故f（x）在x=2出取得極小值．故答案為2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的極值問(wèn)題，屬基礎(chǔ)知識(shí)的考查．熟練掌握導(dǎo)數(shù)法求極值的方法步驟是解答的關(guān)鍵．　16．已知f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2，當(dāng)x=1時(shí)，有極值10，則a+b=　7　．【分析】求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2，當(dāng)x=1時(shí)，有極值10，建立方程組，求得a，b的值，再驗(yàn)證，即可得到結(jié)論．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2∴f39。（x）=3x2﹣2ax﹣b，又∵函數(shù)f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2，當(dāng)x=1時(shí)，有極值10，∴，∴或時(shí)，f39。（x）=3x2﹣2ax﹣b=（x﹣1）（3x+11）=0有不等的實(shí)根，滿足題意；時(shí)，f39。（x）=3x2﹣2ax﹣b=3（x﹣1）2=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，不滿足題意；∴a+b=7故答案為：7【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．　17．已知函數(shù)f（x）=x（x﹣c）2在x=2處有極大值，則c=　6　．【分析】由已知函數(shù)f（x）=x（x﹣c）2在x=2處有極大值，則必有f′（2）=0，且在x=2的兩側(cè)異號(hào)即可得出．【解答】解：∵f′（x）=（x﹣c）2+2x（x﹣c）=3x2﹣4cx+c2，且函數(shù)f（x）=x（x﹣c）2在x=2處有極大值，∴f′（2）=0，即c2﹣8c+12=0，解得c=6或2．經(jīng)檢驗(yàn)c=2時(shí)，函數(shù)f（x）在x=2處取得極小值，不符合題意，應(yīng)舍去．故c=6．故答案為6．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值的方法是解題的關(guān)鍵．　18．已知函數(shù)f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）　．【分析】先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有極大值又有極小值，可以得到△＞0，進(jìn)而可解出a的范圍．【解答】解：∵f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1∴f39。（x）=3x2+6ax+3（a+2）∵函數(shù)f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有極大值又有極小值∴△=（6a）2﹣433（a+2）＞0∴a＞2或a＜﹣1故答案為：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．屬基礎(chǔ)題．　19．已知函數(shù)f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1既存在極大值又存在極小值，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是　m＜﹣3或m＞6　．【分析】求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)已知條件，導(dǎo)函數(shù)必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，只須令導(dǎo)函數(shù)的判別式大于0，求出m的范圍即可．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1既存在極大值，又存在極小值f′（x）=3x2+2mx+m+6=0，它有兩個(gè)不相等的實(shí)根，∴△=4m2﹣12（m+6）＞0解得m＜﹣3或m＞6故答案為：m＜﹣3或m＞6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．導(dǎo)數(shù)的引入，為研究高次函數(shù)的極值與最值帶來(lái)了方便．　20．已知函數(shù)f（x）=4x+（x＞0，a＞0）在x=3時(shí)取得最小值，則a=　36　．【分析】由題設(shè)函數(shù)在x=3時(shí)取得最小值，可得 f′（3）=0，解此方程即可得出a的值．【解答】解：由題設(shè)函數(shù)在x=3時(shí)取得最小值，∵x∈（0，+∞），∴得x=3必定是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴f′（3）=0，f′（x）=4﹣，即4﹣=0，解得a=36．故答案為：36．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，解題的關(guān)鍵是理解“函數(shù)在x=3時(shí)取得最小值”，將其轉(zhuǎn)化為x=3處的導(dǎo)數(shù)為0等量關(guān)系．　21．f（x）=x3﹣3x2+2在區(qū)間[﹣1，1]上的最大值是　2　．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0，求出根，判斷根是否在定義域內(nèi)，判斷根左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，求出最值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）令f′（x）=0得x=0或x=2（舍）當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0所以當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得極大值即最大值所以f（x）的最大值為2故答案為2【點(diǎn)評(píng)】求函數(shù)的最值，一般先求出函數(shù)的極值，再求出區(qū)間的端點(diǎn)值，選出最值．　22．已知函數(shù)f（x）=x3﹣12x+8在區(qū)間[﹣3，3]上的最大值與最小值分別為M，m，則M﹣m=　32　．【分析】先對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，列出在區(qū)間[﹣3，3]上f（x）的單調(diào)性、導(dǎo)函數(shù)f39。（x）的正負(fù)的表格，從而可確定最值得到答案．【解答】解：令f′（x）=3x2﹣12=0，得x=﹣2或x=2，列表得：x﹣3（﹣3，﹣2）﹣2（﹣2，2）2（2，3）3f′（x） +0﹣0+f（x）17 極值24極值﹣8 ﹣1可知M=24，m=﹣8，∴M﹣m=32．故答案為：32【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算、函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系和函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．導(dǎo)數(shù)是由高等數(shù)學(xué)下放到高中的內(nèi)容，每年必考，要引起重視．　23．設(shè)f（x）=x3﹣﹣2x+5，當(dāng)x∈[﹣1，2]時(shí)，f（x）＜m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為　（7，+∞）　．【分析】先求導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性研究函數(shù)的極值點(diǎn)，通過(guò)比較極值與端點(diǎn)的大小從而確定出最大值，進(jìn)而求出變量m的范圍．【解答】解：f′（x）=3x2﹣x﹣2=0解得：x=1或﹣當(dāng)x∈時(shí)，f39。（x）＞0，當(dāng)x∈時(shí)，f39。（x）＜0，當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f39。（x）＞0，∴f（x）max={f（﹣），f（2）}max=7由f（x）＜m恒成立，所以m＞fmax（x）=7．故答案為：（7，+∞）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過(guò)比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù)f（a），f（b）比較而得到的，屬于基礎(chǔ)題．　24．f（x）=ax3﹣3x+1對(duì)于x∈[﹣1，1]總有f（x）≥0成立，則a=　4　．【分析】這類不等式在某個(gè)區(qū)間上恒成立的問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問(wèn)題，本題要分三類：①

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2026-05-07 01:56

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2026-07-26 07:33

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2026-05-07 02:09

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2025-11-03 01:26

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2026-01-09 17:16

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