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平面幾何輔助線添加技法總結(jié)與例題詳解(編輯修改稿)

2026-04-21 01:21 本頁面

　

【文章內(nèi)容簡介】作EF的平行線分別交AE、AF于M、∥EF,可知MN∥ S△BEF＝S△DEF. 有S△BEC＝S△ⅡKG－ *5ⅡDFC. 可得MC＝CN. 所以,EG＝GF.例9 如圖10,⊙O是△ABC的邊BC外的旁切圓,D、E、F分別為⊙O與BC、CA、AB,求證：AK平分BC.證明：如圖10,過點K作BC的行平線分別交直線AB、AC于Q、P兩點,連OP、OQ、OE、OF. 由OD⊥BC,可知OK⊥PQ. 由OF⊥AB,可知O、K、F、Q四點共圓,有 ∠FOQ＝∠FKQ. 由OE⊥AC,可知O、K、P、∠EOP＝∠EKP. 顯然,∠FKQ＝∠EKP, 可知 ∠FOQ＝∠EOP. 由OF＝OE,可知 Rt△OFQ≌Rt△OEP. 則OQ＝OP. 于是,OK為PQ的中垂線,故QK＝KP. 所以,AK平分BC. 綜上,讓平行線在平面幾何證題中發(fā)揮應(yīng)有的作用.第二講巧添輔助圓在某些數(shù)學(xué)問題中,巧妙添置輔助圓常可以溝通直線形和圓的內(nèi)在聯(lián)系,.1 挖掘隱含的輔助圓解題有些問題的題設(shè)或圖形本身隱含著“點共圓”,此時若能把握問題提供的信息,恰當(dāng)補(bǔ)出輔助圓,并合理挖掘圖形隱含的性質(zhì),就會使題設(shè)和結(jié)論的邏輯關(guān)系明朗化. 　作出三角形的外接圓例1 如圖1,在△ABC中,AB＝AC,D是底邊BC上一點,E是線段AD上一點且∠BED＝2∠CED＝∠：BD＝2CD.分析：關(guān)鍵是尋求∠BED＝2∠CED與結(jié)論的聯(lián)系.容易想到作∠BED的平分線,但因BE≠ED,故不能直接證出BD＝△ABC的外接圓于F,則可得EB＝EF,從而獲取.證明：如圖1,延長AD與△ABC的外接圓相交于點F,連結(jié)CF與BF,則∠BFA＝∠BCA＝∠ABC＝∠AFC,即∠BFD＝∠:CF＝BD:DC. 又∠BEF＝∠BAC,∠BFE＝∠BCA,從而∠FBE＝∠ABC＝∠ACB＝∠BFE.　　故EB＝EF. 作∠BEF的平分線交BF于G,則BG＝GF. 因∠GEF＝∠BEF＝∠CEF,∠GFE＝∠CFE,故△FEG≌△＝FC. 于是,BF＝＝2CD. 利用四點共圓例2 凸四邊形ABCD中,∠ABC＝60176。,∠BAD＝∠BCD＝90176。, AB＝2,CD＝1,對角線AC、BD交于點O,如圖2.則sin∠AOB＝____.分析：由∠BAD＝∠BCD＝90176。可知A、B、C、D四點共圓,欲求sin∠AOB,聯(lián)想到托勒密定理,只須求出BC、AD即可.解：因∠BAD＝∠BCD＝90176。,故A、B、C、CD交于P,則∠ADP＝∠ABC＝60176。. 設(shè)AD＝x,有AP＝x,DP＝(2＋x)x＝2x(1＋2x).解得AD＝x＝2－2,BC＝BP＝4－. 由托勒密定理有 BDCA＝(4－)(2－2)＋21＝10－12. 又SABCD＝S△ABD＋S△BCD＝. 故sin∠AOB＝.例3 已知：如圖3,AB＝BC＝CA＝AD,AH⊥CD于H,CP⊥BC,：△ABC的面積S＝APBD. 分析

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