量子力學題庫(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 (2) 或 (3) 動量幾率分布函數為 5 氫原子處在基態，求： (1)r的平均值； (2)勢能的平均值； (3)最可幾半徑； (4)動能的平均值； (5)動量的幾率分布函數。 解：(1) (3)電子出現在r+dr球殼內出現的幾率為 令 當為幾率最小位置 ∴ 是最可幾半徑。 (4) (5) 動量幾率分布函數 6 設t=0時，粒子的狀態為 求此時粒子的平均動量和平均動能。解： 可見，動量的可能值為 動能的可能值為 對應的幾率應為 上述的A為歸一化常數，可由歸一化條件，得 ∴ ∴ 動量的平均值為 7 設氫原子處于狀態 求氫原子能量、角動量平方及角動量Z分量的可能值，這些可能值出現的幾率和這些力學量的平均值。 解：在此能量中，氫原子能量有確定值 角動量平方有確定值為 角動量Z分量的可能值為 其相應的幾率分別為 ， 其平均值為 8 試求算符的本征函數。 解：的本征方程為 （的本征值）9 設波函數，求解： 10 證明：如果算符和都是厄米的，那么 (+)也是厄米的 證： ∴ +也是厄米的。11 求 解： = 0 12 求 解： = 0 13 求在動量表象中角動量的矩陣元和的矩陣元。 解： 14 求能量表象中，一維無限深勢阱的坐標與動量的矩陣元。解：基矢： 能量：對角元： 當時， 15 求線性諧振子哈密頓量在動量表象中的矩陣元。 解： 16 求連續性方程的矩陣表示 解：連續性方程為 ∴ 而 ∴ 寫成矩陣形式為 17 設一體系未受微擾作用時有兩個能級：，現在受到微擾的作用，微擾矩陣元為；都是實數。用微擾公式求能量至二級修正值。 解：由微擾公式得 得 ∴ 能量的二級修正值為 18 計算氫原子由第一激發態到基態的自發發射幾率。 解： 由選擇定則，知是禁戒的 故只需計算的幾率 而 2p有三個狀態，即 (1)先計算z的矩陣元 (2)計算x的矩陣元 (3)計算的矩陣元 (4)計算 19 求線性諧振子偶極躍遷的選擇定則 解： 由 時， 即選擇定則為 20 一維無限深勢阱中的粒子受到微擾 作用，試求基態能級的一級修正。 解：基態波函數（零級近似）為