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高考遞推數列題型分類歸納解析(編輯修改稿)

2026-05-14 12:54 本頁面

　

【文章內容簡介】 3=12，a15=72，有a32=a1a15 ，∴a1=2，∴an=5n－3 例3: (2005,江西,文,22）　已知數列{an}的前n項和Sn滿足Sn－Sn－2=3求數列{an}的通項公式.解：∵，　∴，兩邊同乘以，可得　　令　∴　　…… ……　　∴　又∵，　∴，　∴。　∴類型7．解法：這種類型一般利用待定系數法構造等比數列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉化為是公比為的等比數列。例1:設數列：，求.解：設，將代入遞推式，得…（１）則,又，故代入（１）得說明：（1）若為的二次式，則可設。(2)本題也可由,（）兩式相減得轉化為求之.例2:（2006，山東,文,22, ）已知數列｛｝中，在直線y=x上，其中n=1,2,3… (Ⅰ)令(Ⅱ)求數列(Ⅲ)設的前n項和,是否存在實數，使得數列為等差數列？若存在，試求出，若不存在,則說明理由。解：（Ⅰ）由已知得　　又　　　是以為首項，以為公比的等比數列（II）由（I）知，　　　　　　……　　將以上各式相加得：　　　（III）解法一：存在，使數列是等差數列，　　　　數列是等差數列的充要條件是、是常數　即　又　　∴當且僅當，即時，數列為等差數列　解法二：　存在，使數列是等差數列　由（ = 1 \* ROMAN I）、（ = 2 \* ROMAN II）知，　　　又　∴當且僅當時，數列是等差數列。類型8．解法：這種類型一般是等式兩邊取對數后轉化為，再利用待定系數法求解。例1：已知數列｛｝中，求數列解：由兩邊取對數得，令，則，再利用待定系數法解得：。例2:（2005，江西,理,21）已知數列（1）證明（2）求數列的通項公式an.解：用數學歸納法并結合函數的單調性證明：（1）方法一用數學歸納法證明：　1176。當n=1時， ∴，命題正確.　2176。假設n=k時有則而又∴時命題正確.由1176。、2176。知，對一切n∈N時有方法二：用數學歸納法證明：　1176。當n=1時，∴；　2176。假設n=k時有成立，　令，在[0，2]上單調遞增，所以由假設有：　即　也即當n=k+1時成立，所以對一切（2）解法一：　所以　　,　又bn=－1，所以解法二：∵∴由（I）知，兩邊取以2為底的對數，∴令,則∴或例3:（2006,山東,理,22）已知a1=2，點(an,an+1)在函數f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，…（Ⅰ）證明數列｛lg(1+an)｝是等比數列；（Ⅱ）設Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及數列｛an｝的通項；（Ⅲ）記bn=，求｛bn｝數列的前項和Sn，并證明Sn+=1 解：（Ⅰ）

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