工程數學線性代數課后答案__同濟第五版(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 (l1)2(l10),得矩陣A的特征值為l1=l2=1, l3=10. 對于l1=l2=1, 解方程(AE)x=0, 即,得線性無關特征向量(2, 1, 0)T和(2, 0, 1)T , 將它們正交化、單位化得 , . 對于l3=10, 解方程(A10E)x=0, 即,得特征向量(1, 2, 2)T , 單位化得. 于是有正交陣P=(p1, p2, p3), 使P1AP=diag(1, 1, 10). 17. 設矩陣與相似, 求x, y。 并求一個正交陣P, 使P1AP=L. 解 已知相似矩陣有相同的特征值, 顯然l=5, l=4, l=y是L的特征值, 故它們也是A的特征值. 因為l=4是A的特征值, 所以,解之得x=4. 已知相似矩陣的行列式相同, 因為, ,所以20y=100, y=5. 對于l=5, 解方程(A5E)x=0, 得兩個線性無關的特征向量(1, 0, 1)T, (1, 2, 0)T. 將它們正交化、單位化得, . 對于l=4, 解方程(A+4E)x=0, 得特征向量(2, 1, 2)T, 單位化得. 于是有正交矩陣, 使P1AP=L. 18. 設3階方陣A的特征值為l1=2, l2=2, l3=1。 對應的特征向量依次為p1=(0, 1, 1)T, p2=(1, 1, 1)T, p3=(1, 1, 0)T, 求A. 解 令P=(p1, p2, p3), 則P1AP=diag(2, 2, 1)=L, A=PLP1. 因為,所以 . 19. 設3階對稱陣A的特征值為l1=1, l2=1, l3=0。 對應ll2的特征向量依次為p1=(1, 2, 2)T, p2=(2, 1, 2)T, 求A. 解 設, 則Ap1=2p1, Ap2=2p2, 即, ①. ②再由特征值的性質, 有x1+x4+x6=l1+l2+l3=0. ③由①②③解得 , , , , .令x6=0, 得, x2=0, , , . 因此 . 20. 設3階對稱矩陣A的特征值l1=6, l2=3, l3=3, 與特征值l1=6對應的特征向量為p1=(1, 1, 1)T, 求A. 解 設. 因為l1=6對應的特征向量為p1=(1, 1, 1)T, 所以有, 即 ①. l2=l3=3是A的二重特征值, 根據實對稱矩陣的性質定理知R(A3E)=1. 利用①可推出. 因為R(A3E)=1, 所以x2=x43=x5且x3=x5=x63, 解之得x2=x3=x5=1, x1=x4=x6=4.因此 . 21. 設a=(a1, a2, , an)T , a1185。0, A=aaT. (1)證明l=0是A的n1重特征值。 證明 設l是A的任意一個特征值, x是A的對應于l的特征向量, 則有 Ax=lx, l2x=A2x=aaTaaTx=aTaAx=laTax, 于是可得l2=laTa, 從而l=0或l=aTa. 設l1, l2, , ln是A的所有特征值, 因為A=aaT的主對角線性上的元素為a12, a22, , an2, 所以a12+a22+ +an2=aTa=l1+l2+ +ln,這說明在l1, l2, , ln中有且只有一個等于aTa, 而其余n1個全為0, 即l=0是A的n1重特征值. (2)求A的非零特征值及n個線性無關的特征向量. 解 設l1=aTa, l2= =ln=0. 因為Aa=aaTa=(aTa)a=l1a, 所以p1=a是對應于l1=aTa的特征向量. 對于l2= =ln=0, 解方程Ax=0, 即aaTx=0. 因為a185。0, 所以aTx=0, 即a1x1+a2x2+ +anxn=0, 其線性無關解為p2=(a2, a1, 0, , 0)T,p3=(a3, 0, a1, , 0)T, ,pn=(an, 0, 0, , a1)T.因此n個線性無關特征向量構成的矩陣為. 22. 設, 求A100. 解 由 , 得A的特征值為l1=1, l2=5, l3=5. 對于l1=1, 解方程(AE)x=0, 得特征向量p1=(1, 0, 0)T. 對于l1=5, 解方程(A5E)x=0, 得特征向量p2=(2, 1, 2)T. 對于l1=5, 解方程(A+5