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工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)課后答案__同濟(jì)第五版-資料下載頁

2026-05-22 12:15本頁面

　　

【正文】 1, l2=3, l3=l4=1. 當(dāng)l1=1時(shí), 可得單位特征向量. 當(dāng)l2=3時(shí), 可得單位特征向量. 當(dāng)l3=l4=1時(shí), 可得線性無關(guān)的單位特征向量, . 于是有正交矩陣T=( p1, p2, p3, p4)和正交變換x=Ty, 使f=y12+3y22+y32+y42. 28. 求一個(gè)正交變換把二次曲面的方程3x2+5y2+5z2+4xy4xz10yz=1化成標(biāo)準(zhǔn)方程. 解二次型的矩陣為. 由, 得A的特征值為l1=2, l2=11, l3=0, . 對(duì)于l1=2, 解方程(A2E)x=0, 得特征向量(4, 1, 1)T, 單位化得. 對(duì)于l2=11, 解方程(A11E)x=0, 得特征向量(1, 2, 2)T, 單位化得. 對(duì)于l3=0, 解方程Ax=0, 得特征向量(0, 1, 1)T, 單位化得. 于是有正交矩陣P=(p1, p2, p3), 使P1AP=diag(2, 11, 0), 從而有正交變換, 使原二次方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程2u2+11v2=1. 29. 明: 二次型f=xTAx在||x||=1時(shí)的最大值為矩陣A的最大特征值. 證明 A為實(shí)對(duì)稱矩陣, 則有一正交矩陣T, 使得TAT1=diag(l1, l2, , ln)=L成立, 其中l(wèi)1, l2, , ln為A的特征值, 不妨設(shè)l1最大. 作正交變換y=Tx, 即x=TTy, 注意到T1=TT, 有 f=xTAx=yTTATTy=yTLy=l1y12+l2y22+ +lnyn2. 因?yàn)閥=Tx正交變換, 所以當(dāng)||x||=1時(shí), 有||y||=||x||=1, 即y12+y22+ +yn2=1.因此f =l1y12+l2y22+ +lnyn2163。l1,又當(dāng)y1=1, y2=y3= =yn=0時(shí)f =l1, 所以f max =l1. 30. 用配方法化下列二次形成規(guī)范形, 并寫出所用變換的矩陣. (1) f(x1, x2, x3)=x12+3x22+5x32+2x1x24x1x3。解 f(x1, x2, x3)=x12+3x22+5x32+2x1x24x1x3 =(x1+x22x3)2+4x2x3+2x22+x32 =(x1+x22x3)22x22+(2x2+x3)2. 令 , 即, 二次型化為規(guī)范形f=y12y22+y32,所用的變換矩陣為. (2) f(x1, x2, x3)=x12+2x32+2x1x3+2x2x3。解 f(x1, x2, x3)=x12+2x32+2x1x3+2x2x3 =(x1+x3)2+x32+2x2x3。 =(x1+x3)2x22+(x2+x3)2. 令 , 即, 二次型化為規(guī)范形f=y12y22+y32,所用的變換矩陣為. (3) f(x1, x2, x3)=2x12+x22+4x32+2x1x22x2x3. 解 f(x1, x2, x3)=2x12+x22+4x32+2x1x22x2x3. . 令 , 即, 二次型化為規(guī)范形f=y12+y22+y32,所用的變換矩陣為. 31. 設(shè)f=x12+x22+5x32+2ax1x22x1x3+4x2x3為正定二次型, 求a. 解二次型的矩陣為, 其主子式為 a11=1, , . 因?yàn)閒為正主二次型, 所以必有1a20且a(5a+4)0, 解之得. 32. 判別下列二次型的正定性: (1) f=2x126x224x32+2x1x2+2x1x3。解二次型的矩陣為. 因?yàn)? , ,所以f為負(fù)定. (2) f=x12+3x22+9x32+19x422x1x2+4x1x3+2x1x46x2x412x3x4. 解二次型的矩陣為. 因?yàn)? , , ,所以f為正定. 33. 證明對(duì)稱陣A為正定的充分必要條件是: 存在可逆矩陣U, 使A=U TU, 即A與單位陣E合同. 證明因?yàn)閷?duì)稱陣A為正定的, 所以存在正交矩陣P使PTAP=diag(l1, l2, , ln)=L, 即A=PLPT,其中l(wèi)1, l2, , ln均為正數(shù). 令, 則L=L1L1, A=PL1L1TPT. 再令U=L1TPT, 則U可逆, 且A=UTU.

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