概率論與數理統計習題答案(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 解：P{X=0}=a+, P{X+Y=1}=P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=1}=a+bP{X=0,X+Y=1}=P{X=0,Y=1}=a由于{X=0|與{X+Y=1}相互獨立, 所以P{X=0, X+Y=1}=P{X=0} P{X+Y=1}即 a=(a+)(a+b) (1)再由歸一性知： +a+b+=1 (2)解(1),(2)得 a=, b=2 解: (1) (2) 利用公式計算：(1) FY(y)=P{Y163。y}=P{X2163。y}當y0時，fY(y)=0當y179。0時，從而，(2) F(1/2,4)=P{X163。1/2,Y163。4}= P{X163。1/2,X2163。4}=P{2163。X163。1/2}=：P{XY185。0}=1P{XY=0}=0即 P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=1}=0由概率的非負性知，P{X=1,Y=1}=0，P{X=1,Y=1}=0由邊緣分布律的定義，P{X=1}= P{X=1,Y=0}+ P{X=1,Y=1}=1/4得P{X=1,Y=0}=1/4再由P{X=1}= P{X=1,Y=0}+ P{X=1,Y=1}=1/4得P{X=1,Y=0}=1/4再由P{Y=1}=P{X=1,Y=1}+ P{X=0,Y=1}+ P{X=1,Y=1}= P{X=0,Y=1}知P{X=0,Y=1}=1/2最后由歸一性得：P{X=0,Y=0}=0(X,Y)的分布律用表格表示如下： YX01P{X=i}11/401/4001/21/211/401/4P{Y=j}1/21/21(2) 顯然，X和Y不相互獨立，因為P{X=1,Y=0}185。 P{X=1}P{Y=0}5 解：X與Y相互獨立，利用卷積公式計算 ：(X,Y)～Ｕ(G)設F(x)和f(s)分別表示S=XY的分布函數和密度函數F(s)=P{XYs}s0時，Fs(s)=0s179。0時，所以，于是，S=ＸY概率密度為：由全概率公式：FU(u)=P{U163。u}={X+Y163。u}=P{X=1}P{X+Y163。u|X=1}+ P{X=2}P{X+Y163。u|X=2}= P{X=1}P{1+Y163。u}+ P{X=2}P{2+Y163。u}=180。FY(u1)+180。FY(u2)所以，fU(u) =180。fY(u1)+180。fY(u2)8. 解：(1) (2) 如圖所示，當z0時，FZ(z)=0。 當z179。2時，FZ(z)=1 當0163。z2時:綜上所述，所以Z的概率密度為：：(1) (2) (3) ：(1)P{Z163。1/2|X=0}=P{X+Y163。1/2|X=0}=P{Y163。1/2}=1/2(2) 由全概率公式：FZ(z)=P{Z163。z}=P{X+Y163。z}=P{X=1}P{X+Y163。z|X=1}+P{X=0}P{X+Y163。z|X=0}=P{X=1}P{X+Y163。z|X=1}= P{X=1}P{1+Y163。z}+P{X=0}P{Y163。z}=P{X=1}P{1+Y163。z}=1/3180。[FY(z1)+ FY(z)+ FY(z+1)]從而，fZ(z) =1/3180。[fY(z1)+ fY(z)+ fY(z+1)]=：如圖，當z0時，FZ(z)=0。 當z179。1時，FZ(z)=1 當0163。z1時:綜上得：12Z的概率密度為12 解：當z0時，FZ(z)=0。當z179。0時，所以，Z的概率密度為 第四章4三、解答題1. 設隨機變量的分布律為X– 202pi求，．解：E (X ) = = +0+2= E (X 2 ) = = 4+ 0+ 4= E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =3+5 = 2. 同時擲八顆骰子，求八顆骰子所擲出的點數和的數學期望．解：記擲1顆骰子所擲出的點數為Xi，則Xi 的分布律為記擲8顆骰子所擲出的點數為X ，同時擲8顆骰子，相當于作了8次獨立重復的試驗，E (Xi ) =1/6(1+2+3+4+5+6)=21/6E (X ) =821/3=283. 某圖書館的讀者借閱甲種圖書的概率為p1，借閱乙種圖書的概率為p2，設每人借閱甲乙圖書的行為相互獨立，讀者之間的行為也是相互獨立的． (1) 某天恰有n個讀者，求借閱甲種圖書的人數的數學期望．(2) 某天恰有n個讀者，求甲乙兩種圖書至少借閱一種的人數的數學期望．解：(1) 設借閱甲種圖書的人數為X ，則X~B(n, p1),所以E (X )= n p1(2) 設甲乙兩種圖書至少借閱一種的人數為Y , 則Y ~B(n, p),記A ={借甲種圖書}， B ={借乙種圖書}，則p =｛A ∪ B｝= p1+ p2 p1 p2所以E (Y )= n (p1+ p2 p1 p2 )4. 將n個考生的的錄取通知書分別裝入n個信封，在每個信封上任意寫上一個考生的姓名、地址發出，用X表示n個考生中收到自己通知書的人數，求E(X)．解：依題意，X~B(n，1/n)，所以E (X ) =1.5. 設，且，求E(X)．解：由題意知X～P（），則X的分布律P =，k = 1,2,...又P=P, 所以 解得 ，所以E(X) = 6.6. 設隨機變量X的分布律為問X的數學期望是否存在？解：因為級數， 而發散，所以X的數學期望不存在.7. 某城市一天的用電量X（十萬度計）是一個隨機變量，其概率密度為求一天的平均耗電量． 解：E(X) ==6. 8. 設某種家電的壽命X（以年計）是一個隨機變量，其分布函數為求這種家電的平均壽命E(X)．解：由題意知，隨機變量X的概率密度為 當5時， ，當163。5時，0.E(X) =所以這種家電的平均壽命E(X)=10年.9. 在制作某種食品時，面粉所占的比例X的概率密度為求X的數學期望E(X)．解：E(X) ==1/4 10. 設隨機變量X的概率密度如下，求E(X)．解：.11. 設，求數學期望．解：X的分布律為， k = 0，1，2，3，4，X取值為0，1，2，3，4時，相應的取值為0，1，0，1，0，所以 12. 設風速V在(0，a)上服從均勻分布，飛機機翼受到的正壓力W是V的函數：，（k 0，常數），求W的數學期望．解：V的分布律為，所以 13. 設隨機變量(X, Y )的分布律為 Y X01203/289/283/2813/143/14021/2800求E(X)，E(Y )，E(X – Y )．解：E(X)=0(3/28+9/28+3/28）+1(3/14+3/14+0)+ 2(1/28+0+0)= 7/14=1/2 E(Y)=0（3/28+3/14+1/28）+1(9/28+3/14+0)+ 2(3/28+0+0)=21/28=3/4 E(XY) = E(X) E(Y)=1/23/4= 1/4.14. 設隨機變量(X，Y)具有概率密度，求E(X)，E(Y)，E(XY)解：E(X)= 15. 某工廠完成某批產品生產的天數X是一個隨機變量，具有分布律X10 11 12 13 14pi 所得利潤（以元計）為,求E(Y)，D(Y)．解： E(Y) = E［1000(12X)］=1000[(1210)+(1211)]+(1212)+(1213)+(1214)] = 400E(Y2) = E［10002(12X)2］=10002[(1210)2+（1211）2+（1212）2+（1213）2+（1214）2]=106D(Y)=E(Y2)［E(Y)］2=106 4002=106 16. 設隨機變量X服從幾何分布 ，其分布律為其中0 p 1是常數，求E(X)，D(X)．解：令q=1 p ,則 D(X) = E(X2) E(X) =2q/p2+1/p1/p2 = (1p)/p217. 設隨機變量X的概率密度為，試求E(X)，D(X)．解：E(X)= D(X)= E(X2)= 18. 設隨機變量(X，Y)具有D(X) = 9，D(Y) = 4，求，．解：因為，所以=1/632=1,19. 在題13中求Cov(X，Y)，rXY．解：E(X) =1/2, E(Y) =3/4, E(XY)=0(3/28+9/28+3/28+3/14+1/28）+13/14+20+40=3/14, E(X2)= 02（3/28+9/28+3/28）+12(3/14+3/14+0)+ 22(1/28+0+0)=4/7, E(Y2)= 02（3/28+3/14+1/28）+12(9/28+3/14+0)+ 22(3/28+0+0)=27/28, D(X)= E(X2) ［E(X)］2 = 4/7(1/2)2= 9/28, D(Y)= E(Y2) ［E(Y)］2=27/28(3/4)2= 45/112, Cov(X，Y)= E(XY) E(X) E(Y) =3/14 (1/2) (3/4)= 9/56, rXY = Cov(X，Y) /()=9/56 184。 ()= /520. 在題14中求Cov(X，Y)，rXY，D(X + Y)．解：,21. 設二維隨機變量(X, Y )的概率密度為試驗證X和Y是不相關的，但X和Y不是相互獨立的．解：，所以Cov(X，Y)=0，rXY =0，即X和Y是不相關.當x2 + y2≤1時，f ( x,y)≠fX ( x) f Y(y),所以X和Y不是相互獨立的22. 設隨機變量(X, Y