概率論與數理統計(韓旭里)課后習題答案(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 車的把握大些.~N（3，22），（1） 求P{2X≤5}，P{4X≤10}，P{｜X｜＞2}，P{X＞3}。（2） 確定c使P{X＞c}=P{X≤c}.【解】（1） (2) c=3（cm）X~N（,）,177。,求一螺栓為不合格品的概率.【解】 （小時）服從正態分布N（160，σ2），若要求P{120＜X≤200}≥，允許σ最大不超過多少？【解】 故 F（x）=（1） 求常數A，B；（2） 求P{X≤2}，P{X＞3}；（3） 求分布密度f（x）.【解】（1）由得（2） (3) f（x）=求X的分布函數F（x），并畫出f（x）及F（x）.【解】當x0時F（x）=0當0≤x1時 當1≤x2時 當x≥2時故 （1） f(x)=ael|x|,λ0。(2) f(x)=試確定常數a,b，并求其分布函數F（x）.【解】（1） 由知故 即密度函數為 當x≤0時當x0時 故其分布函數(2) 由得 b=1即X的密度函數為當x≤0時F（x）=0當0x1時 當1≤x2時 當x≥2時F（x）=1故其分布函數為，（1）=，求。（2）=，求，.【解】（1） 即 即 故 （2） 由得即 查表得 由得即 查表得 X2 1 0 1 3Pk1/5 1/6 1/5 1/15 11/30求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值為0，1，4，9故Y的分布律為Y0 1 4 9Pk1/5 7/30 1/5 11/30{X=k}=()k, k=1,2,…,令 求隨機變量X的函數Y的分布律.【解】 ~N（0，1）.（1） 求Y=eX的概率密度；（2） 求Y=2X2+1的概率密度；（3） 求Y=｜X｜的概率密度.【解】（1） 當y≤0時，當y0時， 故 (2)當y≤1時當y1時 故 (3) 當y≤0時當y0時 故~U（0,1），試求：（1） Y=eX的分布函數及密度函數；（2） Z=2lnX的分布函數及密度函數.【解】（1） 故 當時當1ye時當y≥e時即分布函數故Y的密度函數為（2） 由P（0X1）=1知當z≤0時，當z0時， 即分布函數故Z的密度函數為f(x)=試求Y=sinX的密度函數.【解】當y≤0時，當0y1時， 當y≥1時，故Y的密度函數為：試填上(1),(2),(3)項.【解】由知②填1。由右連續性知，故①為0。從而③亦為0。即，直到一枚骰子出現6點為止，求拋擲次數X的分布律.【解】設Ai={第i枚骰子出現6點}。（i=1,2）,P(Ai)=.且A1與A2相互獨立。再設C={每次拋擲出現6點}。則 故拋擲次數X服從參數為的幾何分布。?【解】令X為0出現的次數，設數字序列中要包含n個數字，則X~b(n,)即 得 n≥22即隨機數字序列至少要有22個數字。F（x）=則F（x）是（ ）隨機變量的分布函數.（A） 連續型； （B）離散型；（C） 非連續亦非離散型.【解】因為F（x）在（∞,+∞）上單調不減右連續，且,所以F（x）是一個分布函數。但是F（x）在x=0處不連續，也不是階梯狀曲線，故F（x）是非連續亦非離散型隨機變量的分布函數。選（C）[a,b]上，隨機變量X的密度函數為f(x)=sinx，而在[a,b]外，f(x)=0，則區間 [a,b]等于（ ）(A) [0,π/2]。 (B) [0,π]。(C) [π/2,0]。 (D) [0,].【解】在上sinx≥0，(x)是密度函數。(x)不是密度函數。在上，故f(x)不是密度函數。在上，當時，sinx0，f(x)也不是密度函數。故選（A）。~N（0，σ2），問：當σ取何值時，X落入區間（1，3）的概率最大？【解】因為 利用微積分中求極值的方法，有 得,則 又 故為極大值點且惟一。故當時X落入區間（1，3）的概率最大。（λ），每個顧客購買某種物品的概率為p，并且各個顧客是否購買該種物品相互獨立，求進入商店的顧客購買這種物品的人數Y的分布律.【解】設購買某種物品的人數為Y，在進入商店的人數X=m的條件下，Y~b(m,p)，即由全概率公式有 此題說明：進入商店的人數服從參數為λ的泊松分布，購買這種物品的人數仍服從泊松分布，但參數改變為λp.：Y=1e2X在區間（0，1）上服從均勻分布. 【證】X的密度函數為由于P（X0）=1，故01e2X1，即P（0Y1）=1當y≤0時，FY（y）=0當y≥1時，FY（y）=1當0y1時，即Y的密度函數為即Y~U（0，1）f(x)=若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值范圍. (2000研考)【解】由P（X≥k）=知P（Xk）=若k0,P(Xk)=0若0≤k≤1,P(Xk)= 當k=1時P（Xk）=若1≤k≤3時P（Xk）=若3k≤6，則P（Xk）=若k6,則P（Xk）=1故只有當1≤k≤3時滿足P（X≥k）=.F(x)=求X的概率分布. （1991研考）【解】由離散型隨機變量X分布律與分布函數之間的關系，可知X的概率分布為X113P，求A在一次試驗中出現的概率.【解】令X為三次獨立試驗中A出現的次數，若設P（A）=p,則X~b(3,p)由P（X≥1）=知P（X=0）=（1p）3=故p=（1，6）上服從均勻分布，則方程y2+Xy+1=0有實根的概率是多少？ 【解】~N（2，σ2），且P{2X4}=，則P{X0}= . 【解】故 因此 ，；，(n≥2)臺儀器（假設各臺儀器的生產過程相互獨立）.求（1） 全部能出廠的概率α；（2） 其中恰好有兩臺不能出廠的概率β；（3）其中至少有兩臺不能出廠的概率θ. 【解】設A={需進一步調試}，B={儀器能出廠}，則={能直接出廠}，AB={經調試后能出廠}由題意知B=∪AB，且令X為新生產的n臺儀器中能出廠的臺數，則X~6（n，）,故 ，考生的外語成績（百分制）近似服從正態分布，平均成績為72分，%，試求考生的外語成績在60分至84分之間的概率.【解】設X為考生的外語成績，則X~N（72，σ2）故 查表知 ,即σ=12從而X~N（72，122）故 、200V~240V和超過240V三種情形下，（假設電源電壓X服從正態分布N（220，252））.試求：（1） 該電子元件損壞的概率α。(2) 該電子元件損壞時，電源電壓在200~240V的概率β【解】設A1={電壓不超過200V}，A2={電壓在200~240V}，A3={電壓超過240V}，B={元件損壞}。由X~N（220，252）知 由全概率公式有由貝葉斯公式有（1，2）上服從均勻分布，試求隨機變量Y=e2X的概率密度fY(y).【解】因為P（1X2）=1,故P（e2Ye4）=1當y≤e2時FY（y）=P(Y≤y)=0. 當e2ye4時， 當y≥e4時，即 故 fX(x)=求隨機變量Y=eX的密度函數fY(y). (1995研考)【解】P（Y≥1）=1當y≤1時，當y1時， 即 故 fX(x)=,求Y=1的密度函數fY(y). 【解】 故 （t）服從參數為λt的泊松分布.（1） 求相繼兩次故障之間時間間隔T的概率分布；（2） 求在設備已經無故障工作8小時的情形下，再無故障運行8小時的概率Q.（1993研考）【解】（1） 當t0時，當t≥0時，事件{Tt}與{N(t)=0}等價，有即 即間隔時間T服從參數為λ的指數分布。（2） ，P{X=1}=1/8，P{X=1}=1/{1X1}出現的條件下，X在{1，1}內任一子區間上取值的條件概率與該子區間長度成正比，試求X的分布函數F（x）=P{X≤x}. (1997研考)【解】顯然當x1時F（x）=0；而x≥1時F（x）=1由題知當1x1時，此時 當x=1時，故X的分布函數54. 設隨機變量X服從正態分N（μ1,σ12),Y服從正態分布N(μ2,σ22)，且P{|Xμ1|1}P{|Yμ2|1}，試比較σ1與σ2的大小. (2006研考)解： 依題意 ，則，.因為，即，所以有 ，即.習題三，以X表示在三次中出現正面的次數，.【解】X和Y的聯合分布律如表：XY0123100300、2只