線性代數重要知識點及典型例題答案(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 關故必能由線性表示,當然可表為的線性組合. 證畢. 三、向量組的極大無關組及向量組的秩1．極大無關組的定義：（1）線性無關；（2）任給，都有線性相關，則稱是向量組的一個極大無關組.2．向量組的秩，向量組的秩與矩陣的秩；求向量組的極大無關組,并將其余向量由該極大無關組線性表示的的方法例10的行向量組的秩 ____________.測試點 矩陣的秩與向量組的秩之間的關系。答案 例11設是一個4維向量組，若已知可以表為的線性組合，且表示法惟一，則向量組的秩為（ ）A．1 B．2C．3 D．4測試點 （1）向量組的秩的概念；（2）向量由向量組線性表示的概念 （3）向量組線性相關和線性無關的概念解 因為可以表為的線性組合，且表示法惟一，必有線性無關,因為設，由可以表為的線性組合，即故 由表示法惟一，有 于是有，故線性無關，又可以表為的線性組合，所以為向量組的一個極大無關組，故向量組的秩為3.答案 C例12設向量組（1）求向量組的秩和一個極大線性無關組；（2）將其余向量表為該極大線性無關組的線性組合.測試點 求向量組的極大無關組,并將其余向量由該極大無關組線性表示的的方法解 所以 原向量組的秩為， 為所求的極大無關組.四、子空間的定義，基、維數、向量在一組基下的坐標 1. 維向量空間的定義：維實向量的全體構成的集合稱為維向量空間，記為.2. 子空間的定義：設是的一個非空子集，且滿足對加法運算和數乘運算封閉，則稱是的一個子空間,簡稱為向量空間.：設則由它們的所有線性組合構成的一個子空間，稱它為由生成的子空間.例13 設，說明哪個是子空間，那個不是.解析 在中，任取為任意數，都有所以是子空間.類似地，可以證明也是子空間.但對，取都屬于而這表明對加法運算不封閉，故不是子空間. 4. 向量空間的基和維數的定義向量空間的一個向量組線性無關，且中每個向量都能由它線性表示，定義它為0維，否則，稱為在這組基下的坐標.例14向量空間為實數}的維數為_______________.測試點 向量空間維數的概念解 容易看出 是的一個基。答案 例15證明向量組是的一組基，則向量在這組基下的坐標是____________.測試點 向量在一組基下的坐標解 因為故線性無關，所以它是的一組基.考慮 該線性方程組的增廣矩陣為 得 所以在這組基下的坐標是（即）答案 .例16 求由向量組生成的子空間的一個基，并說明該生成子空間的維數.解析 顯然是的一個極大無關組，故是由向量組生成的子空間的一個基，所以該子空間的維數等于第四章 線性方程組一、線性方程組的三種表示方法 1. 2.，其中 .3． 其中二、齊次線性方程組1．齊次方程組有非零解的條件1）齊次方程組有非零解的充分必要條件是未知數的個數（即矩陣的列數）.2）n個未知數n個方程的齊次方程組有非零解的充分必要條件是.3)，則齊次方程組必有非零解.(這是齊次方程組有非零解的充分條件但不必要)例1．設為矩陣，齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是（　　　）A．的列向量組線性相關 B．的列向量組線性無關C．的行向量組線性相關 D．的行向量組線性無關測試點 齊次方程組有非零解與列向量組線性相關的關系.答案 A例2. 設是43矩陣，若齊次線性方程組只有零解，則矩陣的秩 _____________.測試點 。2根據系數矩陣的階數,確定方程的個數和未知數的個數.解析 線性方程組的系數矩陣的行數等于方程的個數，列數等于未知數的個數因為是43矩陣，故方程組的未知數的個數，故方程組只有零解的充要條件是系數矩陣的秩答案 ,則 .解析 有非零解而 故因為有非零解，則或答案 或 2. 齊次方程組解的結構1）齊次方程組解的性質設都是的解，則也是的解(C1，C2為任意常數)2）齊次方程組的基礎解系的概念：（1）線性無關；（2）的任何一個解都可以表示為的線性組合，則稱為該齊次方程組的基礎解系.如果齊次方程組有非零解（即），則它有基礎解系.重要結論:齊次方程組的基礎解系含個線性無關的解；齊次方程組的任意個線性無關的解都構成該齊次方程組的基礎解系；3）齊次方程組的基礎解系的求法例4 3元齊次方程組的基礎解系所含解向量的個數為 .測試點 齊次方程組的基礎解系 (定義。含幾個解向量。求法)解 因為齊次方程組的系數矩陣為的秩為,未知數的個數為,所以其基礎解系含個解.答案 例5已知是齊次方程組的一個基礎解系,則此方程組的基礎解系還可以選用A. B.D. 與等價的向量組測試點 特別是若齊次方程組的一個基礎解系含4個解,則它的任意4個線性無關的解都是它的基礎解系。等價與等秩的區別4,齊次方程組解的性質.解 因為是齊次方程組的一個基礎解系,故都是齊次方程組的解,因為與等價,故能由線性表示,所以該向量組的秩=4,又因為等價的向量組有相等的秩,所以的秩也等于4,. 所以 D正確.答案 Dn矩陣的秩，是齊次線性方程組的三個線性無關的解向量，則方程組的基礎解系為（　　　）A． B． C． D．知識點 齊次線性方程組基礎解系的概念及所含解向量的個數。向量組線性相關性的判別解 顯然A,B,C選項中的三個向量都是線性相關的,而齊次方程組的基礎解系應由線性無關的向量組組成.答案 D 3）齊次方程組的通解公式 如果是基礎解系，則它的通解為 ，其中為任意數.例6求齊次線性方程組 的基礎解系及通解.測試點 求齊次方程組的基礎解系和通解的方法解 取為約束未知數,為自由未知數,取為該齊次方程組的基礎解系,該齊次方程組的通解為 為任意數)三．非齊次方程組 1．非齊次方程組解的性質1）設都是的解，則是它的導出組的解.2）設都是的解，則當時，也是的解.3）設是的一個解，是它的導出組的解,則是的解.例7已知是3元非齊次線性方程組的兩個解向量，則對應齊次線性方程組有一個非零解向量__________________.測試點 線性非齊次方程組解的性質 解 答案 例8設齊次線性方程有解，而非齊次線性方程且有解,則是方程組_____________的解。測試點 線性方程組解的性質答案 2．關于非齊次方程組解的討論定理 個未知數，個方程的線性方程組中，（系數矩陣是階矩陣）1）當且僅當（未知數的個數）時，方程組有惟一解；2）當且僅當（未知數的個數）時，方程組有無窮多解；3）當且僅當時，方程組無解.從以上定理可見1）線性方程組有解的充分必要條件是.2）當線性方程組，方程的個數＝未知數的個數時，該方程組有惟一解的充分必要條件是系數行列式.例9已知某個3元非齊次線性方程組的增廣矩陣經初等行變換化為：，若方程組無解，則的取值為____________.測試點 ,則以為增廣矩陣的線性方程組與原方程組通解。 解 當時,故方程組無解.答案 .例10 如果非齊次線性方程組有解,則它有惟一解的充分必要條件是其導出組 .解 非齊次線性方程組有惟一解的充分必要條件是未知數的個數，而它恰是其導出組只有零解,沒有非零解的充要條件.答案 只有零解. 其中是方程的一個特解，為系數矩陣的秩，為它的導出組（與它對應的）齊次方程組的基礎解系.例10設3元非齊次線性方程組的兩個解為，且系數矩陣的秩，則對于任意常數 方程組的通解可表為（　　　） 測試點 。解 因為都是非齊次方程組的解，故是它的導出組的解，又因為為3元方程組，故它的基礎解系含一個解，即它的任何一個非零解都是它的基礎解系，故就是它的基礎解系，又是非齊次方程組的解，所以為的通解. 答案 C例11設3元非齊次線性方程組(1) 試判定當為何值時,方程組有無窮多個解?(2) 當方程組有無窮多解時,求出其通解(要求用它的一個特解和它導出組的基礎解系表示).測試點 線性方程組的討論解所以 當即時,方程組無解。當 即 時方程組有惟一解。當 即時,取為約束未知數,為自由未知數,取為方程組的特解, .例12 設向量可以由向量組線性表示,則數應滿足的條件是A. B. C. D.解析 考察方程,其增廣矩陣為 故方程組有解時,必有答案 C第五章 特征值與特征向量一、特征值與特征向量 1．特征值與特征向量的定義要點：是n階方陣的特征值，是指存在非零列向量，，是n階方陣的特征值，這時，齊次方程組的非零解都是矩陣屬于特征值的特征向量.例1 設為3階矩陣,為3階單位陣,若行列式,則的一個特征值為 【 】A. B. C. D. 測試點 為的特征值的充分必要條件是.解 因為,故所以必有一個特征值為.答案 B例2 已知矩陣的一個特征值為，則 ____________.測試點 為的特征值的充分必要條件是.解 為矩陣的一個特征值故.答案 例3 設3階矩陣的每行元素之和均為2,則必有一個特征值為 . 2. 解 因為3階矩陣的每行元素之和均為2, 所以必有一個特征值為.答案 例4設矩陣，則的線性無關的特征向量的個數是（　　　）A． B．C． D．解 的特征值為，當時，所以，故的基礎解系只含一個解，這表明只有一個屬于特征值的線性無關的特征向量，故的線性無關的特征向量的個數是.答案 C 2．關于特征值、特征向量的性質1）與有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；2）設都是矩陣屬于特征值的特征向量，是數，只要，則也是矩陣屬于特征值的特征向量；3) 設階方陣的個特征值為,則(2).4）矩陣屬于不同特征值的特征向量線性無關。5）設是矩陣屬于特征值的特征向量，則是矩陣屬于特征值的特征向量，其中.6)，且是矩陣的特征值.3．特征值、特征向量的求法例5設階矩陣有一個特征值為,對于階單位矩陣,矩陣必有一個特征值為 .解 ,則,因為有一個特征值為,故必有一個特征值為例6設為n階可逆矩陣，已知有一個特征值為，則必有一個特征值為_____________.測試點 若 為可逆矩陣的一個特征值，則為矩陣的特征值.解 因為有一個特征值為，故有一個特征值為,所以必有一個特征值為.答案 .例7 已知是n階矩陣，且滿足方程,證明的特征值只能是或.測試點 設為的特征值，.證 設為的特征值，則必為的特征值，又因為，故，二、相似矩陣 設都是階方陣，如果存在可逆陣使得，則稱與相似.2. 相似矩陣的性質1)反身性，對稱性，傳遞性；2）若方陣與相似，則與有相同的特征值，（但不一定有相同的特征向量）進而，且,其中表示矩陣的跡，即,為方陣的n個特征值；注意：反之，若與有相同的特征值，與不一定相似；例如有相同的特征值，但與不相似.例8 設3階矩陣與相似,且已知的特征值為則矩陣的跡 【 】A. 3 B. 2 測試點1. 相似矩陣的特征值相同。從而其跡和行列式也相同；.解 由已知的特征值也為故的跡答案 A例9 設3階矩陣與相似，且已知的特征值為. 則=（　　　）A． B．C．7 D．12測試點 (1) 相似矩陣的特征值相同。(2)設為矩陣的一個特征值,則為矩陣的特征值。為矩陣的特征值.(3)矩陣的特征值與該矩陣的跡和行列式的關系.解 因為3階矩陣與相似,所以與有相同的特征值,所以的特征值為,故的特征值為從而答案 A例10若2階矩陣相似于矩陣，為2階單位矩陣，則與矩陣相似的矩陣是（ ）A． B．C． D．測試點 相似矩陣的概念；相似矩陣的性質（若與相似，則與相似；相似矩陣有相同的特征值等）；三角形矩陣的特征值解1 ，故與相似，所以，凡與矩陣相似的矩陣的特征值都是，故在A,B,C,D四個選項中，正確的只能是C.解2因為二階方陣有兩個不同的特征值，故與對角陣相似，同理也與對角陣相似，故與相似.答案 C 1)n階方陣能與對角陣相似的充分必要條件是有n個線性無關的特征向量；設是方陣的n個特征值，則.2）若方陣有n個不同的特征值（即特征方程無重根），則必能與對角陣相似.（這是能與對角陣相似的充分條件，不是必要條件）例11 階矩陣與對角陣相似的充分必要條件是（ ）A 矩陣有個特征值 B 矩陣有個線性無關的特征向量C D 矩陣的特征多項式沒有重根答案 B例12 判斷能否與對角陣相