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空間向量及立體幾何練習試題和答案解析(編輯修改稿)

2025-08-19 04:50 本頁面

　

【文章內容簡介】（I）取AB的中點D，連結CD，DF，DE．∵AC=BC，D是AB的中點，∴CD⊥AB．∵側面ABB1A1是邊長為2的正方形，AE=，A1F=．∴A1E=，EF==，DE==，DF==，∴EF2+DE2=DF2，∴DE⊥EF，又CE⊥EF，CE∩DE=E，CE?平面CDE，DE?平面CDE，∴EF⊥平面CDE，又CD?平面CDE，∴CD⊥EF，又CD⊥AB，AB?平面ABB1A1，EF?平面ABB1A1，AB，EF為相交直線，∴CD⊥平面ABB1A1，又CD?ABC，∴平面ABB1A1⊥平面ABC．（II）∵平面ABB1A1⊥平面ABC，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC．∵CA⊥CB，AB=2，∴AC=BC=．以C為原點，以CA，CB，CC1為坐標軸建立空間直角坐標系，如圖所示：則A（，0，0），C（0，0，0），C1（0，0，2），E（，0，），F（，2）．∴=（﹣，0，2），=（，0，），=（，2）．設平面CEF的法向量為=（x，y，z），則，∴，令z=4，得=（﹣，﹣9，4）．∴=10，||=6，||=．∴sin＜＞==．∴直線AC1與平面CEF所成角的正弦值為．【點評】本題考查了面面垂直的判定，線面角的計算，空間向量的應用，屬于中檔題．　7．如圖，在四棱錐中P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2．（1）求證：AB⊥PC；（2）在線段PD上，是否存在一點M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小為45176。，如果存在，求BM與平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，請說明理由．【分析】（1）利用直角梯形的性質求出AB，AC的長，根據勾股定理的逆定理得出AB⊥AC，由PA⊥平面ABCD得出AB⊥PA，故AB⊥平面PAC，于是AB⊥PC；（2）假設存在點M，做出二面角的平面角，根據勾股定理求出M到平面ABCD的距離從而確定M的位置，利用棱錐的體積求出B到平面MAC的距離h，根據勾股定理計算BM，則即為所求角的正弦值．【解答】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是直角梯形，AD=CD=2，BC=4，∴AC=4，AB===4，∴△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB，∴AB⊥平面PAC，又PC?平面PAC，∴AB⊥PC．（2）假設存在符合條件的點M，過點M作MN⊥AD于N，則MN∥PA，∴MN⊥平面ABCD，∴MN⊥AC．過點M作MG⊥AC于G，連接NG，則AC⊥平面MNG，∴AC⊥NG，即∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角．若∠MGN=45176。，則NG=MN，又AN=NG=MN，∴MN=1，即M是線段PD的中點．∴存在點M使得二面角M﹣AC﹣D的大小為45176。．在三棱錐M﹣ABC中，VM﹣ABC=S△ABC?MN==，設點B到平面MAC的距離是h，則VB﹣MAC=，∵MG=MN=，∴S△MAC===2，∴=，解得h=2．在△ABN中，AB=4，AN=，∠BAN=135176。，∴BN==，∴BM==3，∴BM與平面MAC所成角的正弦值為=．【點評】本題考查了項目垂直的判定與性質，空間角與空間距離的計算，屬于中檔題．　8．如圖，在各棱長均為2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面A1ACC1⊥底面ABC，∠A1AC=60176。．（1）求側棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值的大小；（2）已知點D滿足=+，在直線AA1上是否存在點P，使DP∥平面AB1C？若存在，請確定點P的位置，若不存在，請說明理由．【分析】（1）推導出A1O⊥平面ABC，BO⊥AC，以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系O﹣xyz，利用向量法能求出側棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值．（2）假設存在點P符合題意，則點P的坐標可設為P（0，y，z），則．利用向量法能求出存在點P，使DP∥平面AB1C，其坐標為（0，0，），即恰好為A1點．【解答】解：（1）∵側面A1ACC1⊥底面ABC，作A1O⊥AC于點O，∴A1O⊥平面ABC．又∠ABC=∠A1AC=60176。，且各棱長都相等，∴AO=1，OA1=OB=，BO⊥AC．…（2分）故以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系O﹣xyz，則A（0，﹣1，0），B（，0，0），A1（0，0，），C（0，1，0），∴=（0，1，），=（），=（0，2，0）．…（4分）設平面AB1C的法向量為，則，取x=1，得=（1，0，1）．設側棱AA1與平面AB1C所成角的為θ，則sinθ=|cos＜，＞|=||=，∴側棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值為．…（6分）（2）∵=，而，∴=（﹣2，0，0），又∵B（），∴點D（﹣，0，0）．假設存在點P符合題意，則點P的坐標可設為P（0，y，z），∴．∵DP∥平面AB1C，=（﹣1，0，1）為平面AB1C的法向量，∴由=λ，得，∴y=0．…（10分）又DP?平面AB1C，故存在點P，使DP∥平面AB1C，其坐標為（0，0，），即恰好為A1點．…（12分）【點評】本題考查線面角的正弦值的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．　9．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面ABB1A1為矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中點，BD與AB1交于點O，且CO⊥平面ABB1A1．（Ⅰ）證明：平面AB1C⊥平面BCD；（Ⅱ）若OC=OA，△AB1C的重心為G，求直線GD與平面ABC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）通過證明AB1⊥BD，AB1⊥CO，推出AB1⊥平面BCD，然后證明平面AB1C⊥平面BCD．（

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