222第2課時橢圓方程及性質的應用(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 第二章 圓錐曲線與方程 欄目導引 ① － ② ，得 a2( y21 － y22 ) ＋ b2( x21 － x22 ) ＝ 0 ， ∴y 1 － y 2x 1 － x 2＝－b2a2 x 1 ＋ x 2y 1 ＋ y 2＝－b2a2 xy. 這樣就建立了中點坐標與直線的斜率之間的關系，從而使問題能得以解決． 預習學案 課堂講義 課后練習 工具 第二章 圓錐曲線與方程 欄目導引 2. 已知橢圓x 22 ＋ y2 ＝ 1 ，求過點 P????????12 ，12 且被 P 平分的弦所在直線的方程． 解析： 方法一： 由題意可知，該直線的斜率存在，不妨設所求直線方程為 y －12＝ k????????x －12，即 y ＝ kx ＋12－12k ， 由????? x22＋ y2＝ 1 ，y ＝ kx ＋12－12k ， 得 (2 ＋ 4 k2) x2＋ 4 k (1 － k ) x ＋ (1 － k )2－ 4 ＝ 0. 預習學案 課堂講義 課后練習 工具 第二章 圓錐曲線與方程 欄目導引 設直線與橢圓交于 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 兩點，則 x 1 ＋ x 2 ＝－4 k ? 1 － k ?2 ＋ 4 k2 ＝ 1 ， 解之得 k ＝－12. ∴ 直線方程為 2 x ＋ 4 y － 3 ＝ 0. 預習學案 課堂講義 課后練習 工具 第二章 圓錐曲線與方程 欄目導引 方法二： 設直線與橢圓交于 A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) 兩點， 由題意知，所求直線的斜率存在，設為 k ， 則 x1＋ x2＝ 1 ， y1＋ y2＝ 1. 由????? x212＋ y21＝ 1 ，x222＋ y22＝ 1 ，得 y21－ y22＝－12( x21－ x22) ， 預習學案 課堂講義 課后練習 工具 第二章 圓錐曲線與方程 欄目導引 ∴y1－ y2x1－ x2＝－12x1＋ x2y1＋ y2＝－12， 即 k ＝－12， ∴ 直線方程為 y －12＝－12 ????????x －12， 即 2 x ＋ 4 y － 3 ＝ 0. 預習學案 課堂講義 課后練習 工具 第二章 圓錐曲線與方程 欄目導引 已知斜率為 1 的直線 l 過橢圓x 24 ＋ y2 ＝ 1 的右焦點，交橢圓于 A 、 B 兩點，求弦 AB 的長． 預習學案 課堂講義 課后練習 工具 第二章 圓錐曲線與方程 欄目導引 [ 解題過程 ] ∵ a2＝ 4 ， b2＝ 1 ， ∴ c ＝ a2－ b2＝ 3 ， ∴ 右焦點 F ( 3 ， 0) ， ∴ 直線 l 方程 y ＝ x － 3 . 由????? y ＝ x － 3 ，x24＋ y2＝ 1 ，消去 y 并整理得 5 x2－ 8 3 x ＋ 8 ＝ 0. 設直線 l 與橢圓的交點為 A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ， 預習學案 課堂講義 課后練習 工具 第二章 圓錐曲線與方程 欄目導引 則 x1＋ x2＝8 35， x1x2＝85， ∴ | AB |＝ ? x1－ x2?2＋ ? y1－ y2?2 ＝ ? x1－ x2?2＋ ? x1－ 3 － x2＋ 3 ?2 ＝ 2 ? x1－ x2?2＝ 2[ ? x1＋ x2?2－ 4 x1x2] ＝ 2????????????????8 352－ 4 85＝85， 即弦 AB 的長為85. 預習學案 課堂講義 課后練習 工具 第二章 圓錐曲線與方程 欄目導引 [ 題后感悟 ] 求弦長的公式：設直線方程 y ＝ kx ＋ m ，橢圓方程x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) ．直線與橢圓的兩個交點為 A ( x 1 ， y 1 ) ，B ( x2， y2) ， | AB |＝ ? x1－ x2?2＋ ? y1－ y2?2 ＝ ? x1－ x2?2＋ ? kx1＋ m － kx2－ m ?2 ＝ ? x1－ x2?2? 1 ＋ k2? ＝ 1 ＋ k2| x1－ x2| ＝ 1 ＋ k2? x1＋ x2?2－ 4 x1x2 預習學案 課堂講義 課后練習 工具 第二章 圓錐曲線與方程 欄目導引 或 | AB |＝????????y 1 － mk－y 2 － mk2＋??????y 1 － y 22 ＝ 1 ＋1k2 | y 1 － y 2 | ＝ 1 ＋1k2 ? y 1 ＋ y 2 ?2－ 4 y 1 y 2 . 當 k ＝ 0 時，直線平行于 x 軸， ∴ | AB |＝ | x 1 － x 2 |. 預習學案 課堂講義 課后練習 工具 第二章 圓錐曲線與方程 欄目導引 3. 橢圓 ax 2 ＋ by 2 ＝ 1 與直線 x ＋ y － 1 ＝ 0 相交于 A ， B 兩點，C 是 AB 的中點，若 | AB |＝ 2 2 ， OC 的斜率為22 ，求橢圓的方程． 解析： 方法一 ：設 A ( x 1 ， y 1 ) 、 B ( x 2 ， y 2 ) ， 代入橢 圓方程并作差得 a ( x 1 ＋ x 2 )( x 1 － x 2 ) ＋ b ( y 1 ＋ y 2 )( y 1 － y 2 ) ＝ 0 ， 而y 1 － y 2x 1 － x 2＝－ 1 ，y 1 ＋ y 2x 1 ＋ x 2＝ k OC ＝22， 代入上式可得 b ＝ 2 a . 預習學案 課堂講義 課后練習