一維隨機變量及其概率分布(編輯修改稿)

　

【文章內(nèi)容簡介】 布的無記憶性 }.{}{,0,tXPsXtsXPts?????? 有即對于任意? ?它的直觀意義是有些元件在 使用過程中損壞與否通過去 使用的歷史無關(guān) }.{)(1)(1}{}{}{)}(){(}{:)(tXPeeesFtsFsXPtsXPsXPsXtsXPsXtsXPtsts????????????????????????????證 這一性質(zhì)稱為指數(shù)分布的無記憶性。事實上可以證明指數(shù)分布是唯一具有上述性質(zhì)的連續(xù)型分布 . 例 .某電子元件的壽命（一小時計） X服從指數(shù)分布，其概率密度為 ????? ???.,0,0,1 001)(100其它xexfx（ 1）求元件壽命至少為 200小時的概率 . （ 2）將 3只這種元件連接成為一個系統(tǒng) .設(shè)系統(tǒng)工作的方式是至少 2只元件失效時系統(tǒng)失效，又設(shè) 3只元件工作相互獨立 .求系統(tǒng)的壽命至少為 200小時的概率 . 解： （ 1）元件壽命至少為 200小時的概率為 ? ?2200100100200200|1001)(200??????????????eedxedxxfXPxx（ 2）以 Y計 3只元件中壽命小于 200小時的元件的只數(shù) . 由于單個元件的工作相互獨立 ,又由 (1)知一元件的壽 命小于 200小時的概率為 1e2,故有 ).1,3(~ 2?? eBY2只及 2只以上元件的壽命小于 200小時的概率為 ? ?.)12()1()1()1(23222232222??????????????????????eeeeeYP故系統(tǒng)的壽命至少為 200小時的概率為 ? ? .0 5 5 ?????? YPp 設(shè)連續(xù)型隨機變量 X的概率密度為 其中 ?,?(?0)為常數(shù)，則稱 X服從參數(shù)為 ?,?的正態(tài)分布或高斯 (Gauss)分布，記為 X～ N(?,?2)。 ,21)( 222)(????????xexfx????)( xfx?o正態(tài)分布密度函數(shù)圖示 ? １ 父親可以說是一名「大老粗」，認為只有力氣能掙錢，學(xué)問這種勞什子對窮人是沒有用的。 ２ 終于發(fā)現(xiàn)了高斯的才華，他知道自己的能力不足以教高斯，就從漢堡買了一本較深的數(shù)學(xué)書給高斯讀。同時，高斯和大他差不多十歲的助教 Bartels變得很熟，而 Bartels的能力也比老師高得多，后來成為大學(xué)教授，他教了高斯更多更深的數(shù)學(xué)。 ? ３ 老師和助教去拜訪高斯的父親，要他讓高斯接受更高的教育，但高斯的父親認為兒子應(yīng)該像他一樣，作個泥水匠，而且也沒有錢讓高斯繼續(xù)讀書，最后的結(jié)論是－－去找有錢有勢的人當高斯的贊助人，雖然他們不知道要到哪里找。經(jīng)過這次的訪問，高斯免除了每天晚上織布的工作，每天和 Bartels討論數(shù)學(xué)，但不久之后， Bartels也沒有什么東西可以教高斯了。 ? ４ 1788年高斯不顧父親的反對進了高等學(xué)校。數(shù)學(xué)老師看了高斯的作業(yè)后就要他不必再上數(shù)學(xué)課，而他的拉丁文不久也凌駕全班之上。 1795年高斯進入哥廷根大學(xué)，因為他在語言和數(shù)學(xué)上都極有天分，為了將來是要專攻古典語文或數(shù)學(xué)苦惱了一陣子。到了 1796年，十七歲的高斯得到了一個數(shù)學(xué)史上極重要的結(jié)果。最為人所知，也使得他走上數(shù)學(xué)之路的，就是正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法。 1801年，高斯二十四歲時出版了 《 算學(xué)研究 》 (Disquesitiones Arithmeticae)，這本書以拉丁文寫成，原來有八章，由于錢不夠，只好印七章。 至此，我們已初步介紹了兩類重要的隨機變量 : 離散型 f (x) x o x P(x) o 對它們分別用概率函數(shù)和密度函數(shù)描述 . 第三節(jié) 隨機變量的分布函數(shù) 隨機變量分布函數(shù)的定義 分布函數(shù)的性質(zhì) 小結(jié) 布置作業(yè) 一、分布函數(shù)的定義 如果將 X 看作數(shù)軸上隨機點的坐標，那么分布函數(shù) F(x) 的值就表示 X落在區(qū)間 內(nèi)的 ],( x??概率 . xo xX X?設(shè) X 是一個 ， 稱 )()( xXPxF ?? )( ?????? x為 X 的分布函數(shù) , 記作 F (x) . (1) 在分布函數(shù)的定義中 , X是隨機變量 , x是參變量 . (2) F(x) 是 X取值不大于 x 的概率 . (3) 對任意實數(shù) x1x2，隨機點落在區(qū)間 ( x1 , x2 ]內(nèi) 的概率為： P{ x1X x2} ? 因此，只要知道了隨機變量 X的分布函數(shù)， 它的統(tǒng)計特性就可以得到全面的描述 . ?? =P{ X x2 } P{ X x1 } = F(x2)F(x1) 1x 2xo x?? XXX請注意 : 分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)， 正是通過它，我們可以用高等數(shù) 學(xué)的工具來研究隨機變量 . ??????? xxXPxF ),()(xo xX X當 x0 時 ， { X x } = ， 故 F(x) =0 ? ?例 1 設(shè) 隨機變量 X 的分布律為 當 0 x 1 時 ， F(x) = P{X x} = P(X=0) = ?31?F(x) = P(X x) ?解 0 x1 2x?x ??X XX kp0 1 21 3 1 6 1 2求 X 的分布函數(shù) F (x) . 當 1 x 2 時 ， F(x) = P{X=0}+ P{X=1}= + = ?316121當 x 2 時 ， F(x) = P{X=0} + P{X=1} + P{X=2}= 1 ?0 x1 2?? ?Xx xX故 注意右連續(xù) 下面我們從圖形上來看一下 . ????????????????2,121,2110,310,0)(xxxxxF31211 2021 61OOO1)(xF 的分布函數(shù)圖 xy設(shè)離散型 r .v X 的分布律是 P{ X=xk } = pk , k =1,2,3,… F(x) = P(X x) = ??xxkkp?即 F(x) 是 X 取 的諸值 xk 的概率之和 . x?一般地 則其分布函數(shù) 二、分布函數(shù)的性質(zhì) ? ? ? ? , 上是一個不減函數(shù)在 ????xF(1) ? ?? ? ? ? 。,212121xFxFxxxx???????? 都有且即對? ? ? ?21F x F x??1x 2xo x?? XX? ?12 0P x X x? ? ?X 如果一個函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個 X 的分布函數(shù) . 也就是說，性質(zhì) (1)(3)是鑒別一個函數(shù)是否是某 的分布函數(shù)的充分必要條件 . (3) F(x) 右連續(xù)，即 )()(lim 00xFxFxx???(2) xo X x()F ?? ? ? ?limx Fx? ??? ?limx Fx? ??()F ?? ?0?1?試說明 F(x)能否是某個 的分布函數(shù) . 例 2 設(shè)有函數(shù) F(x) ??? ???其它00s i n)(?xxxF 解 注意到函數(shù) F(x)在 上下降， 不滿足性質(zhì) (1)，故 F(x)不能是分布函數(shù) . ],2[ ??不滿足性質(zhì) (2)， 可見 F(x)也不 能是 的分布函數(shù) . 或者 0)(lim)( ???? ??? xFF x 解 設(shè) F(x) 為 X 的分布函數(shù)， 當 x 0 時 ， F(x) = P(X x) = 0 ? 0 a 當 x a 時 ， F(x) =1 例 3 在區(qū)間 [0， a] 上任意投擲一個質(zhì)點，以 X 表示這個質(zhì)點的坐標 . 設(shè)這個質(zhì)點落在 [0, a]中意 小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比 ，試求 X 的分布函數(shù) . 當 0 x a 時 ， P(0 X x) = kx (k為常數(shù) ) ? ? ??由于 P(0 X a) = 1 ka=1， k = ??? 1/a ? ? F(x) = P(X x) = P(X0) + P(0 X x) ? =x / a 0, 0( ) , 01,xxF x x aaxa????? ? ??????故 這就是在區(qū)間 [0， a]上服從均勻分布的連續(xù)型 隨機變量的分布函數(shù) . （ 2）連續(xù)型隨機變量 X的概率密度為 f(x),其分布函數(shù)為： ? ?( ) P X ( )xF x x f t d t??? ? ? ?連續(xù)性隨機變量的分布函數(shù) F(x)一定是連續(xù)函數(shù)，且 ( ) ( ) ( ) .f x F x f x? ?在 的 連 續(xù) 點 處 有 ：概率密度函數(shù) f(x)與分布函數(shù) F(x)的關(guān)系為 x 0 f(x) ( ) ( ) ( )xF x P x f t d t??? ? ? ?Ｘx ( ) ( ) ( )f x f x F x??因 此 對 于 的 一 切 連 續(xù) 點 有例 . 設(shè)隨機變量 X具有概率密度 ⑴確定常數(shù) k； ⑵求 X的分布函數(shù) F(x)； ⑶求 P{X≤}. ??? ????其它,020,1)(xkxxf????????????????????其它的概率密度為，于是解得，得由解,020,121)(211)1(1)()1(30xxxfXkdxkxdxxf? ? .)(}{)3(2,120,410,0)()()2(2?????????????????????FFXPxxxxxdxxfxFXx的分布函數(shù)為2. 5 2 2. 51. 5 1. 5 222 2. 51. 5 2{ X } ( ) ( 1 ) 021 62 5 62 54||xP x dx dx dxxx?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?或2用兩種方法計算 P{X}的示意圖 1 2 0 x f(x) 1 2 0 x F(x) 例 .設(shè)某種電器系統(tǒng)的電壓 X是隨機變量 ,它的分布函數(shù)為 ,0F ( ) 10 , 0xxx xx???? ??? ??0x ?（ 1）求 X的概率密度函數(shù) f(x)； （ 2）求 P{2X5}. P{X3}. P{X1}. 解 （ 1）在 處， F(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，故 21,0( 1 )( ) F ( )0 , 0xxf x xx???? ??? ?? ??而在 x=0處 f(x)可取任意給定的值 ,例 f(x)= 21,0( 1 )()0 , 0xxfxx????? ?? ??（ 2） P{X3}=F（ 3） =3/4 P{2X5}=F(5)F(2)=5/6. P{X1}=1P{X≤1}=1F(1)=11/2=1/2 X～ U(a,b). 分布函數(shù)為： 連續(xù)型隨機變量 X概率密度 ????????????.,1,0)(bxbxaaxabaxxF)(xfxbaoab?1)( xFxbao1均勻分布的密度函數(shù)與分布函數(shù) X～ N(?,?2) 連續(xù)型隨機變量 X的概率密度為 其中