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高三數學圓錐曲線的綜合問題(編輯修改稿)

2025-12-17 02:53 本頁面

　

【文章內容簡介】知圓 k過定點 A(a,0)(a＞ 0),圓心 k在拋物線 C：y 2 =2ax上運動， MN為圓 k在 y軸上截得的弦 . (1)試問 MN的長是否隨圓心 k的運動而變化？ (2)當 |OA|是 |OM|與 |ON|的等差中項時，拋物線 C的準線與圓 k有怎樣的位置關系？本題考查圓錐曲線科內綜合的知識及考生綜合、靈活處理問題的能力。知識依托于弦長公式，韋達定理，等差中項，絕對值不等式，一元二次不等式等知識 . 解： (1)設圓心 k(x0,y0),且 y02=2ax0, 圓 k的半徑 R=|AK|= 2202020 )( axyax ???? ∴ |MN|= 20220202 22 xaxxR ???? =2a(定值 ) ∴ 弦 MN的長不隨圓心 k的運動而變化 . (2)設 M(0,y1)、 N(0,y2)在圓 k： (x－ x0)2+(y－ y0)2=x02+a2中，令 x=0，得 y2－ 2y0y+y02－ a2=0 ∴ y1y2=y02－ a2 ∵ |OA|是 |OM|與 |ON|的等差中項 . ∴ |OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a. 又 |MN|=|y1－ y2|=2a ∴ |y1|+|y2|=|y1－ y2| ∴ y1y2≤ 0，因此 y02－ a2≤ 0,即 ax0－ a2≤ 0. ∴ 0≤ x0≤ 2a 圓心 k到拋物線準線距離 d=x0+ ≤ a, 2a 而圓 k半徑 R= ≥ a. 220 ax ?且上兩式不能同時取等號，故圓 k必與準線相交 . 問題 3：如圖，已知橢 =1(2≤m≤5), 過其左焦點且斜率為 1的直線與橢圓及其準線的交點從左到右的順序為 A、 B、 C、 D，設 f(m)=||AB|－ |CD||. (1)求 f(m)的解析式； (2)求 f(m)的最值 . 122?? mymx 本題主要考查利用解析幾何的知識建立函數關系式，并求其最值，體現了圓錐曲線與代數間的科間綜合 .知識依托于直線與圓錐曲線的交點，韋達定理，根的判別式，利用單調性求函數的最值 . 解： (1)設橢圓的半長軸、半短軸及半焦距依次為 a、 b、 c，則 a2=m,b2=m－ 1,c2=a2－ b2=1 ∴ 橢圓的焦點為 F1(－ 1,0),F2(1,0). 故直線的方程為 y=x+1, 又橢圓的準線方程為 x=177。 , 即 x=177。 m. ca2∴ A(－ m,－ m+1),D(m,m+1), 考慮方程組 ??????????11122mymxxy 消去 y得： (m－ 1

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