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高中數學高考復習導數及其應用(編輯修改稿)

2025-09-01 18:24 本頁面

　

【文章內容簡介】（2，+∞）上遞增，若存在，求出這樣的k值；　　（2）若恰有三個單調區間，試確定的取值范圍，并求出這三個單調區間。　　解：　　（1）　　由題意，當時，當x∈(2,+∞) 時，　　∴由函數的連續性可知，　　即　　整理得　　解得或　　驗證：　　（Ⅰ）當時，　　∴若，則；若，則，符合題意；　　（Ⅱ）當時，　　，　　顯然不合題意。　　于是綜上可知，存在使在（1，2）上遞減，在（2，+∞）上遞增。　　（2）　　若，則，此時只有一個增區間，與題設矛盾；　　若，則，此時只有一個增區間，與題設矛盾；　　若，則　　并且當時，；　　當時，　　∴綜合可知，當時，恰有三個單調區間：　　減區間；增區間　　點評：對于（1），由已知條件得，并由此獲得k的可能取值，進而再利用已知條件對所得k值逐一驗證，這是開放性問題中尋求待定系數之值的基本策略。　　例已知函數，當且僅當時，取得極值，并且極大值比極小值大4.　　（1）求常數的值；　　（2）求的極值。　　解：　　（1），　　令得方程　　∵ 在處取得極值　　∴ 或為上述方程的根，　　故有　　∴ ，即　　　　 ①　　∴ 　　　　　　又∵ 僅當時取得極值，　　∴方程的根只有或，　　∴方程無實根，　　∴ 即　　而當時，恒成立，　　∴ 的正負情況只取決于的取值情況　　當x變化時，與的變化情況如下表：1(1，+∞)+0—0+極大值極小值　　∴ 在處取得極大值，在處取得極小值。　　由題意得　　整理得　　　　　　②　　于是將①，②聯立，解得　　（2）由（1）知，　　　　點評：循著求函數極值的步驟，利用題設條件與的關系，立足研究的根的情況，乃是解決此類含參問題的一般方法，這一解法體現了方程思想和分類討論的數學方法，突出了“導數 ”與“ 在處取得極值”的必要關系。　　例　　（1）已知的最大值為3，最小值為29，求的值；　　（2）設，函數的最大值為1，最小值為，求常數的值。　　解：　　（1）這里，不然與題設矛盾　　　　令，解得或x=4（舍去）　　（Ⅰ）若，則當時，，在內遞增；　　當時，，在內遞減　　又連續，故當時，取得最大值　　∴由已知得　　而　　∴此時的最小值為　　∴由得　　（Ⅱ）若，則運用類似的方法可得當時有最小值，故有；　　又　　∴當時，有最大值，　　∴由已知得　　于是綜合（Ⅰ）（Ⅱ）得所求或　　（2），　　令得　　解得　　　當在上變化時，與的變化情況如下表：1(1,0)01　　 +0—0+　　極大值極小值　　　∴當時，取得極大值；當時，取得極小值。　　由上述表格中展示的的單調性知　　∴ 最大值在與之中，的最小值在和之中，　　考察差式，　　即，　　故的最大值為　　由此得　　考察差式　　　　，即，　　∴ 的最小值為　　由此得，解得　　于是綜合以上所述得到所求。　　五、高考真題　　（一）選擇題　　設，，，…，，，則（　　）。　　A、　　　　　　B、　　　　 C、　　　　　　 D、　　分析：由題意得，　　，　　，　　，　　　　∴ 具有周期性，且周期為4，　　∴ ，應選C。　　函數有極值的充要條件為（　　　　）　　A、　　　　 B、　　　　　　 C、　　　　 D、　　分析：　　∴當時，且；　　當時，令得有解，　　因此才有極值，故應選C。　　設，分別是定義在R上的奇導數和偶導數，當時，，且，則不等式的解集是（　　　　）　　A、（3，0）∪（3，+∞）　　　　　　 B、（3，0）∪（0，3）　　　　　　C、（∞，3）∪（3，+∞）　　　　　 D、（∞，3）∪（0，3）　　分析：為便于描述，設，則為奇導數，當時，，且　　∴根據奇函數圖象的對稱性知，的解集為（∞，3）∪（0，3），應選D。　　二、填空題　　1 過原點作曲線的切線，則切點坐標為　　　　　，切線的斜率為　　　。　　分析：設切點為M ，則以M為切點的切線方程為　　∴由曲線過原點得，∴ ，　　∴切點為，切線斜率為。　　點評：設出目標（之一）迂回作戰，則從切線過原點切入，解題思路反而簡明得多。　　2 曲線在點處的切線與x軸，直線所圍成的三角形面積為，則 =　　　　　　　　。　　分析：　　　　∴曲線在點處的切線方程為　　即　　　　切線與x軸交點，　　又直線與切線交點縱坐標為，　　∴上述三角形面積，　　由此解得即　　3 曲線與在交點處的切線夾角是　　　　　　（以弧度數作答）　　分析：設兩切線的夾角為，將兩曲線方程聯立，解得交點坐標為　　又，　　　　即兩曲線在點處的切線斜率分別為2，3　　∴ ，　　∴ ，應填。　　（三）解答題　　1 已知，討論導數的極值點的個數。　　解析：先將求導，即。　　當時，有兩根，于是有兩極值點。　　當時，，為

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