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四川省省級聯考20xx年高考數學模擬試卷理科(編輯修改稿)

2025-12-18 05:54 本頁面

　

【文章內容簡介】 b＞ 2； ③ + ＞ 2．其中所有正確結論的序號是（） A． ①② B． ①③ C． ②③ D． ①②③ 【考點】不等式的基本性質．【分析】 ① 由 blna﹣ alnb=a﹣ b 得 = ，構造函數 f（ x） = ， x＞ 0，判斷 a，b 的取值范圍即可． ② 由對數平均不等式進行證明， ③ 構造函數，判斷函數的單調性，進行證明即可．【解答】解： ① 由 blna﹣ alnb=a﹣ b，得 blna+b=alnb+a，即 = ，設 f（ x） = ， x＞ 0，則 f′（ x） =﹣ =，由 f′（ x）＞ 0 得﹣ lnx＞ 0，得 lnx＜ 0，得 0＜ x＜ 1，由 f′（ x）＜ 0 得﹣ lnx＜ 0，得 lnx＞ 0，得 x＞ 1，即當 x=1 時，函數 f（ x）取得極大值，則 = ，等價為 f（ a） =f（ b），則 a， b 一個大于 1，一個小于 1，不妨設 0＜ a＜ 1， b＞ 1．則 a+b﹣ ab＞ 1 等價為（ a﹣ 1）（ 1﹣ b）＞ 0， ∵ 0＜ a＜ 1， b＞ 1． ∴ （ a﹣ 1）（ 1﹣ b）＞ 0，則 a+b﹣ ab＞ 1 成立，故 ① 正確， ② 由即 = ，得 = ，由對數平均不等式得 = ＞，即 lna+lnb＞ 0，即 lnab＞ 0，則 ab＞ 1，由均值不等式得 a+b2，故 ② 正確， ③ 令 g（ x） =﹣ xlnx+x，則 g′（ x） =﹣ lnx，則由 g′（ x）＞ 0 得﹣ lnx＞ 0，得 lnx＜ 0，得 0＜ x＜ 1，此時 g（ x）為增函數，由 g′（ x）＜ 0 得﹣ lnx＜ 0，得 lnx＞ 0，得 x＞ 1，此時 g（ x）為減函數，再令 h（ x） =g（ x）﹣ g（ 2﹣ x）， 0＜ x＜ 1，則 h′（ x） =g′（ x） +g′（ 2﹣ x） =﹣ lnx﹣ lm（ 2﹣ x） =﹣ ln[x（ 2﹣ x） ]＞ 0，則 h（ x） =g（ x）﹣ g（ 2﹣ x），在 0＜ x＜ 1 上為增函數，則 h（ x） =g（ x）﹣ g（ 2﹣ x）＜ h（ 1） =0，則 g（ x）＜ g（ 2﹣ x），即 g（）＜ g（ 2﹣ ）， ∵ g（） = ﹣ ln = + lna= = ， ∴ g（） =g（）則 g（） =g（）＜ g（ 2﹣ ）， ∵ g（ x）在 0＜ x＜ 1 上為增函數， ∴ ＞ 2﹣ ，即 + ＞ 2．故 ③ 正確，故選： D 二、填空題（每題 5 分，滿分 25 分，將答案填在答題紙上） 11．在（ 2 ﹣ ） 6的展開式中，含 x3項的系數是 64 （用數字填寫答案）【考點】二項式系數的性質．【分析】根據二項式展開式的通項公式，令展開式中含 x項的指數等于 3，求出 r 的值，即可求出展開式中 x3項的系數．【解答】解：二項式（ 2 ﹣ ） 6展開式的通項公式為 Tr+1= ? ? =（﹣ 1） r?26﹣ r? ?x3﹣ r，令 3﹣ r=3，解得 r=0； ∴ 展開式中 x3項的系數是 26 =64．故答案為： 64． 12．一個幾何體的三視圖如圖所示，則幾何體的體積為 π ．【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】該幾何體是一個半圓柱，即可求出其體積．【解答】解：該幾何體是一個半圓柱，如圖，其體積為．故答案為： π． 13．已知 tanα=3，則 sinαsin（ ﹣ α）的值是 ﹣ ．【考點】同角三角函數基本關系的運用．【分析】利用誘導公式、同角三角函數基本關系式、 “弦化切 ”即可得出．【解答】解： ∵ tanα=3，則 sinαsin（ ﹣ α） =﹣ sinαcosα=﹣ =﹣=﹣ =﹣ ．故答案為：﹣ ． 14．已知圓的方程為 x2+y2﹣ 6x=0，過點（ 1， 2）的該圓的三條弦的長 a1， a2， a3構成等差數列，則數列 a1， a2， a3的公差的最大值是 2 ．【考點】等差數列的通項公式．【分析】化圓的一般方程為標準方程，求出圓心坐標和半徑，得到最大弦長，再求出過 P且垂直于 CP 的弦的弦長，即最小弦長，然后利用等差數列的通項公式求得公差得答案．【解答】解：如圖，由 x2+y2﹣ 6x=0，得（ x﹣ 3） 2+y2=9， ∴ 圓心坐標 C（ 3， 0），半徑 r=3，由圓的性質可知，過點 P（ 1， 2）的該圓的弦的最大值為圓的直徑，等于 6，最小值為過 P 且垂直于 CP 的弦的弦長， ∵ |CP|= ， ∴ |AB|=2 ，即 a1=2， a3=6， ∴ 公差 d 的最大值為．故答案為： 2． 15．已知 =（ 1， 0）， =（ 1， 1），（ x， y） = ，若 0≤ λ≤ 1≤ μ≤ 2 時， z= +（ m＞ 0， n＞ 0）的最大值為 2，則 m+n 的最小值為 + ．【考點】向量的線性運算性質及幾何意義；基本不等式．【分析】化簡可得（ x， y） =λ（ 1， 0） +μ（ 1， 1），從而可得 x=λ+μ， y=μ；從而可得 + =1；再化簡（ m+n）（ + ） = +1+ + ，從而利用基本不等式求最小值．【解答】解： ∵ =（ 1， 0）， =（ 1， 1）， ∴ （ x， y） =λ（ 1， 0） +μ（ 1， 1）， ∴ x=λ+μ， y=μ； z= + = + ， ∵ 0≤ λ≤ 1≤ μ≤ 2， z= + （ m＞ 0， n＞ 0）的最大值為 2， ∴ + =2，即 + =1；故（ m+n）（ + ） = +1+ + ≥ +2 = + ；（當且僅當 = 時，等號成立）．故答案為： + ．三、解答題（本大題共 6 小題，共 75分 .解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 .） 16．在 △ ABC 中，角 A， B， C 所對的邊分別為 a， b， c，且滿足 acosB=bcosA．（ 1）判斷 △ ABC 的形狀；（ 2）求 sin（ 2A+ ）﹣ 2cos2B 的取值范圍．【考點】正弦定理；三角函數中的恒等變換應用；余弦定理．【分析】（ 1）由已知等式結合正弦定理化邊為角，再由兩角差的余弦求得 sin（ A﹣ B） =0，可得 A=B，則 △ ABC 為等腰三角形；（

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