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高二數(shù)學(xué)數(shù)列求和(編輯修改稿)

2025-12-18 18:12 本頁面

　

【文章內(nèi)容簡介】 3。22n＋ 3＝ 164 (1 4 )14n???即－ 3Gn＝ 24＋ (26＋ 28＋ … ＋ 22n＋ 2)－ (2n＋ 1)22n＋ 3 8 ( 4 8 8 ) 4 ,3nn??( 4 8 8 ) 4 8 .9nnnG ????變式 1－ 1 (2020四川 )已知等差數(shù)列 {an}的前 3項(xiàng)和為 6，前 8項(xiàng)和為－ 4. (1)求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè) bn＝ (4－ an)qn－ 1(q≠0 ， n∈ N*)，求數(shù)列 {bn}的前 n項(xiàng)和 Sn. 解析： (1)設(shè) {an}的公差為 d，由已知得 113 3 6 ,8 2 8 4 ,adad????? ? ??解得 a1＝ 3， d＝－ 1. 故 an＝ 3－ (n－ 1)＝ 4－ n. (2)由 (1)的解答可得， bn＝ nqn－ 1，于是 Sn＝ 1q0＋ 2q1＋ 3q2 ＋ … ＋ nqn－ 1，若 q≠1 ，將上式兩邊同乘以 q有 qSn＝ 1q1＋ 2q2＋ … ＋ (n－ 1)qn－ 1＋ nqn，兩式相減得 (q－ 1)Sn＝ nqn－ 1－ q1－ q2－ … － qn－ 1 ＝ nqn－ 11 ( 1 ) 1,11n n nq n q n qqq?? ? ? ????于是 Sn＝ 12( 1 ) 1 。( 1 )nnn q n qq? ? ? ??若 q＝ 1，則 Sn＝ 1＋ 2＋ 3＋ … ＋ n＝ ( 1) .2nn?所以 Sn＝ 12( 1 ), 1 ,2( 1 ) 1, 1 ,( 1 )nnnnqnq n qqq??????? ? ? ?? ?? ??題型二利用裂項(xiàng)相消法求和【例 2】 (2020山東 )已知等差數(shù)列 {an}滿足： a3＝ 7， a5＋ a7＝ 26， {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn. (1)求 an及 Sn； (2)令 bn＝ 21 ,1na ?(n∈ N*)，求數(shù)列 {bn}的前 n項(xiàng)和 Tn. 分析本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n項(xiàng)和公式的應(yīng)用、裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，熟悉數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)是解答好本題的關(guān)鍵．解： (1)設(shè)等差數(shù)列 {an}的公差為 d，因?yàn)?a3＝ 7， a5＋ a7＝ 26，所以有 112 7 ,2 1 0 2 6 ,adad???????解得 a1＝ 3， d＝ 2，所以 an＝ 3＋ 2(n－ 1)＝ 2n＋ 1； Sn＝ 3n＋ 2＝ n2＋ 2n. ( 1)2nn?(2)由 (1)知 an＝ 2n＋ 1，所以 bn＝ 22111 ( 2 1 ) 1nan?? ? ?1 1 1 1 1( ) .4 ( 1 ) 4 1n n n n? ? ???所以 Tn＝ 1 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) .4 2 2 3 1 4 1 4 ( 1 )nn n n n? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?變式 2－ 1 已知在等比數(shù)列 {an}中， a1＝ 2，公比 q＝ 2，又在等差數(shù) 列 {bn}中， b2＝ a1， b8＝ a3. (1)求數(shù)列 {bn}的通項(xiàng)公式 bn及前 n項(xiàng)和 Sn； (2)若＝ 12 ,nnbb?求數(shù)列 {}的前 n項(xiàng)和 Tn. 解析： (1)由已知 a3＝ a1q2＝ 8，則 282,8.bb???

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