數值分析講義(東北大學)第七章數值積分(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 kknkkknbabfxfxfxfxfafhCdxxfI1111)](7)(14)(12))()((32)(7[90)(234143,)( 4343 hkax k ???? hkax k )( 4141 ????),()(1 9 3 5 3 6 0)( )6(6bafhabCI n ????? ??)(m a x,1 9 3 5 3 6 0 )( )6(6667xfMMnabCIbxan ??????復化 Cotes公式也是收斂的 ,而且 ,要使 |ICn|? ,只要 ??? 6671 9 35 3 6 0)( Mnab?1 9 3 5 3 6 0)( 676 Mabn ??或 已知函數 分別用復化梯形公式、復化 Simpson公式和復化 Cotes公式計算積分 解 例 9 x xxf sin)( ? 的數據表 xk ?(xk) xk ?(xk) xk ?(xk) 0 1 3/8 3/4 1/8 1/2 7/8 1/4 5/8 1 ?? 10 s i n dxx xI 的近似值。 9 4 5 6 9 0 )]1()87(2)43(2)85(2)21(2)83(2)41(2)81(2)0([1618??????????fffffffffT定積分 I精確到小數點后 7位的值是 。 利用復化梯形公式和復化 Simpson公式分別計算上例中定積分 ,若使精度 ?=106,問各需取 n為多少 ? 解 因為 ?(x)= 9 4 6 0 8 3 )]1()43(2)21(2)41(2)87(4)85(4)83(4)81(4)0([2414??????????fffffffffS9 4 6 0 8 3 )]1(7)21(14)43(12)41(12)87(32)85(32)83(32)81(32)0(7[1 8 012??????????fffffffffC例 10 ?? 10 c o ssin x td tx x ,所以有 ,s i n)( 10???? x td ttxf ????? 10 2 c o s)( x td ttxf于是有 對復化梯形公式 ,若使 |ITn|106, 只要 實際上 ,S3=. 故應取 n=167. ,s i n)( 10 3????? x td ttxf ?? 10 4)4( c o s)( x td ttxf210231|c o s|)( Mdtxttxf ????? ?4104)4(51|c o s|)( Mdtxttxf ??? ?, 136 ???? ?n對復化 Simpson公式 ,若使 |ISn|106, 只要 , 8 8 05 1 64???? ?n 故只需取 n=3. 由此得 由于 一方面，若 |T2nTn|3? ,則有近似誤差 |IT2n|? . 167。 4 Romberg求積公式 所以有 ),(,)(12 )( 23bafnabTI n ??????? ??),(~,)~()2(12 )( 232 bafnabTIn ??????? ??42???nnTITI34 2 nn TTI ?? )(3122 nnn TTTI ???或 另一方面， (4T2nTn)/3應比 Tn和 T2n的近似程度更好 .事實上 ,有 其中 ,xk=a+kh,k=0,1,2,… ,n,h=(ba)/n, 而且有 于是有 )]()(2)([2 11bfxfafhT nk kn??? ???)]()(2)(2)([4 1112 21 bfxfxfafhT nk knk kn???? ?? ??? ?hkax k )( 2121????nnk knk knn SbfxfxfafhTT ?????? ?? ??? ?)]()(2)(4)([634 111221)))(((22)(22 21112 21 nabkafnabTxfhTT nknnk knn???????? ???? ?因此有逐次分半的復化梯形公式的遞推公式： 只要 而且，要使 )]()([212 0 bfafabTT ???????????????? ??????,3,2,1,)2))(((2211 2112122kabiafabTTkkkikk,2 ??? kTI .3122 ??? ?kk TT也有逐次分半的復化 Simpson公式的遞推公式： )]()([212 0 bfafabTT ?????,3,2,1,)2 ))(((2211 21 12122 ??????? ? ??? ?kabiafabTTkkki kk???????????? ?,3,2,1,34 11222kTTSkkk由復化 Simpson公式的誤差估計式有： ),(,)(2 8 8 0 )( )4(45bafnabSI n ????? ??),(,)()2(2 8 8 0 )( )4(452 bafnabSIn ????? ??所以有 162???nnSISI由此得 1516 2 nn SSI ?? )(15122 nnn SSSI ???或 一方面，若 |S2nSn|15? ,則有近似誤差 |IS2n|? . 另一方面 ,(16S2nSn)/15應比 Sn和 S2n的近似程度更好 .事實上 ,有 (16S2nSn)/15=Cn ),(,)(1 9 3 5 3 6 0)( )6(67bafnabCI n ????? ??),(,)()2(1 9 3 5 3 6 0 )( )6(672 bafnabSIn ????? ??所以有 642???nnCICI由此得 6364 2 nn CCI ?? )(63122 nnn CCCI ???或 一方面，若 |C2nCn|63? ,則有近似誤差 |IC2n|? . 另一方面 ,(64C2nCn)/63應比 Cn和 C2n的近似程度更好 . 記 (64C2nCn)/63=Rn,稱為 Romberg求積公式 . 類似地 ,由于 用 Tm(k)(m=1,2,3,4)分別表示把區間 2k等分的復化梯形公式 ,復化 Simpson公式 , 復化 Cotes公式和 Romberg求積公式 . )]()([201 bfafabT ????,3,2,1,)2 ))(((22121 121)1(1)(1 ??????? ? ?? ??kabiafabTTki kkkk???????